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Dieses Modul erläutert die Konstruktion von Maßzahlen für den statistischen Zusammenhang für Variablen auf ordinalem Skalenniveau, also solche Merkmale, die sich zwar in einer Rangreihenfolge ordnen lassen, bei denen die Intervalle zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen jedoch nicht genau bestimmbar sind.
Als klassisches Beispiel einer ordinalskalierten Variable soll im folgenden das Beispiel der Schulnoten dienen. Verwenden wir das Beispiel aus Litz 1997 (S. 137 ff):
Angenommen, fünf Schüler erzielen folgende Noten in den Fächern Deutsch und Englisch:
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Schüler |
A |
B |
C |
D |
E |
|---|---|---|---|---|---|
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Englisch |
4 |
1 |
2 |
3 |
5 |
|
Deutsch |
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
Die Frage, die es zu beantworten gilt ist: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Leistung im Fach Englisch und der Leistung im Fach Deutsch?
Um eine Maßzahl zu finden, mit der sich diese Frage beantworten läßt, bedient man sich der Methode des Paarvergleiches, d.h. die Leistungen der Schüler werden paarweise miteinander verglichen. Die Logik ist einfach: Ist Schüler A sowohl in Englisch als auch in Deutsch besser als Schüler B, so würde dies für einen positiven Zusammenhang der beiden Variablen sprechen (also: Je besser jemand in Englisch ist, desto besser ist er auch in Deutsch). Man spricht von einem konkordanten Paar. Das gleiche gilt für den Fall, daß Schüler A sowohl in Englisch als auch in Deutsch schlechter ist als Schüler B.
Ist Schüler A jedoch in Englisch schlechter als Schüler B, dafür aber in Deutsch besser, so würde dies für einen negativen Zusammenhang sprechen (also: Je besser jemand in Englisch ist, desto schelchter ist er in Deutsch). Man spricht in diesem Fall von einem diskordanten Paar.
Auf diese Weise werden nun alle Schüler paarweise miteinander verglichen.
Die folgende Präsentation veranschaulicht das grundlegende Auszählverfahren:
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Wenn Sie die Präsentation manuell steuern möchten,
klicken Sie bitte hier:
Wir erhalten von den insgesamt 10 möglichen Paaren also 3 diskordante und 7 konkordante, was schon einmal einen positiven Zusammenhang nahelegt.
Die Gesamtzahl der möglichen Paare läßt sich
generell durch die Formel
bestimmen, hier also
.
Nun ist das obige Auszählverfahren natürlich recht mühsam und fehlerträchtig, da leicht ein Paar übersehen werden kann. Schneller zum Ziel gelangt man mit Hilfe des grafischen Auszählverfahrens. Dazu werden die Ränge aller N Fälle einfach in ein Koordinatensystem eingetragen. Welche Variable an X- bzw. Y-Achse angetragen wird, ist dabei unerheblich!
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Deutsch |
5 |
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* |
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4 |
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* |
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3 |
* |
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|
2 |
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* |
|
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1 |
|
* |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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Englisch |
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Die konkordanten Paare erhält man wie folgt:
Man
beginnt bei dem linken obersten Punkt - alle Punkte die links und
unterhalb dieses Punktes liegen sind konkordante Paare. Dann springt
man einen Punkt weiter nach links und wiederholt die Prozedur, bis
man links unten angekommen ist.
Zum Auszählen der diskordanten Paare wird analog vorgegangen, nur daß jetzt alle links-oberhalb des Referenzpunktes liegenden Fälle gezählt werden.
Betrachten Sie das Auszählverfahren anhand dieser Präsentationen:
Auszählen
der konkordaten Paare im Koordinatensystem
Auszählen
der diskordanten Paare im Koordinatensystem
In diesem einfachen Beispiel sind nur konkordante und diskordante Paar zu finden. Tatsächlich treten meist jedoch auch sog. Ties auf. Von Ties spricht man, wenn beim Paarvergleich zwei Fälle den gleichen Rang aufweisen. Dies kann entweder nur eine der beiden Variablen betreffen (Tie in X bzw. Tie in Y) oder auch beide Variablen (Tie in XY). In der Darstellung im Koordinatensystem erscheinen Ties als nebeneinander bzw. übereinanderliegende Punkte.
