1. Die Verteilung der Stichprobenvariablen K

Die Stichprobenanteilswerteresultieren aus dem Ziehen einer Stichprobe aus einer dichotomen Grundgesamtheit. Ihre Verteilung kann deshalb unmittelbar aus der Binomialverteilung vonabgeleitet werden.
Bei der Vorstellung der Binomialverteilung im Kapitel "Theoretische Verteilungen" hatten wir die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens der Ereignisse A und Ā in der Grundgesamtheit mit p und q = 1-p bezeichnet. In der Gegenüberstellung von Grundgesamtheit und Stichprobe werden nun die Wahrscheinlichkeiten der Grundgesamtheit mit griechischen Buchstaben also mit π und 1-π, die der Stichprobe mit p und 1-p bezeichnet.

a) Die Verteilung der Stichprobenvariablen K bei n· π (1 - π) < 9

• Die Konstruktionsprinzipien für den Erwartungswert und die Varianz dieser Binomialverteilung sind bereits aus dem Modul “Theoretische Verteilungen“ bekannt. Für die Stichprobenverteilung der K ergeben sie sich als:und.

• Die Verteilung der Stichprobenvariablen K lässt sich direkt anhand der tabellierten Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ermitteln.

• Abbildung III-9: Verteilung der Stichprobenvariablen K bei p = 0,7 und n = 20

  
  

b) Die Verteilung der Stichprobenvariablen K bei n· π (1 - π) ≥ 9

• Ab einer Varianz kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Hierbei ist, wie erwähnt, die diskrete Verteilung durch eine stetige zu approximieren. Dazu ist eine Stetigkeitskorrektur () zu berücksichtigen.

• Es gilt dann:. Auf diese Weise lassen sich die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass mehr alsund weniger alsvon n Stichprobenelementen das betrachtete Merkmal aufweisen. Hierbei ist zu beachten, dass indie Werteundnicht einbezogen sind.

• Sollte dies doch gefordert sein, gilt hier und im Folgenden für die unter Grenze k - 1/2 und für die obere Grenze k + 1/2.

• Die Standardnormalvariablen ergeben sich als tabellierte Prüfgröße unter Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur wie folgt:

  • für die untere Grenze:

    und

  • für die obere Grenze:

    

2. Die Verteilung der Stichprobenvariablen p = K/n bei n· π (1 - π) ≥ 9

a) Die Verteilung der p

• Wenn K ab einer Varianznormalverteilt ist und der Anteilswert p dann miteine Lineartransformation einer normalverteilten Zufallsvariablen darstellt, ist nach der Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung auch p normalverteilt mit den Parametern:

• 

  

• Diese Verteilung der Stichprobenanteilswerte ergibt folgendes Bild:

  Abbildung III-10: Verteilung der Stichprobenanteilswerte

  
  

b) Die Z-Transformation der Anteilswerte p

Aus den obigen Formeln läßt sich für p die Z-Transformationen ableiten.

• Bei und einer Stetigkeitskorrektur von fürundfür erhalten wir:

  

• Durch Auflösen nach p können für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten die oberen und unteren Grenzen für p bestimmt werden:

  

  In diesem Bereich liegenaller Anteilswerte von Stichproben.

  Anmerkung:

  • Beiist der Endlichkeitsfaktorzu berücksichtigen. Damit ergeben sich die Bereichsgrenzen mit:

    

    
    

  • Bei n > 1000 kann die Stetigkeitskorrektur entfallen.

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