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ViLeS 1 > VI Statistische Konzentrationsmaße > VI-1 Die relative Konzentration > Konzepte und Definitionen

Konzepte und Definitionen im Modul VI-1 Die relative Konzentration

1. Das Konzept der relativen Konzentration

  • Das Konzept der relativen Konzentration ist das geeignete Modell zur Erfassung von Konzentrationsprozessen innerhalb einer Population, deren Umfang durch den Prozess selbst nicht unmittelbar beeinflusst wird. So hat z. B. die Verteilung einer Menge von Konsumgütern oder der Vermögen über die privaten Haushalte eines Landes keinen Einfluss auf die Anzahl der Haushalte selbst.

    Bei Konzentrationsprozessen unter den Anbietern auf einem Markt können Konkurrenten vom Markt ausgeschlossen werden, so dass die Anzahl der Anbieter sinkt. Die Notwendigkeit eines zusätzlichen Modellansatzes für zum Konzept der absoluten Konzentration, das im nächsten Modul vorgestellt wird.

  • Mit der relativen Konzentration betrachten wir die Verteilung der Merkmalssumme ∑ Xi · fi auf Summe der Merkmalsträger ∑ fi. Dabei sind zwei Extreme möglich:

    • die Merkmalssumme ist gleich auf die Merkmalsträger verteilt. Konkret heißt das, dass die Gesamtheit der Vermögen gleich verteilt ist. Oder

    • die Merkmalssumme ist nur einem Merkmalsträger zugeteilt. Konkret heißt das, eine Person besitzt alles.

  • Graphisch lässt sich das Verhältnis von Merkmalssumme und Summe der Merkmalsträger in einem Koordinatensystem darstellen, bei dem die kumulierten %-Anteile der Merkmalssumme auf der Y-Achse, die kumulierten %-Anteile der Häufigkeiten auf der X-Ache aufgetragen werden (vgl. Abb. 6-1).

    • Gleichverteilung bedeutet, dass die ersten 10% der Betroffenen über 10% des Vermögens verfügen, die ersten 20% über 20% des Vermögens, usw. Dies wird über die 45°-Linie markiert.

    • Ungleichverteilung liegt vor, wenn z.B. die unteren 90% der Betroffenen über 10% des Vermögens und die oberen 10% über 90% verfügen. Dies lässt sich über den unteren Linienzug, die Lorenzkurve ausdrücken.

    Abb. 6-1: Lorenz-Kurven bei Gleich- und Ungleichverteilung

  • Das Ausmaß der realen Konzentration ergibt sich aus der Fläche zwischen der Gleichverteilungslinie und der Ungleichverteilungskurve. Die Konstruktion dieser Lorenzkurve soll an einem konkreten tabellarischen Beispiel demonstriert werden, wobei die Ordinatenpunkte der Kurve in der 7. Spalte der Tabelle und die Abszissenwerte in der 3. Spalte zu finden sind.

2. Die rechnerische Umsetzung

a) Das Fallbeispiel

Das Modell der relativen Konzentration soll im Folgenden am Beispiel der studentischen Urlaubsausgaben aus Kap. 3 entwickelt werden. Diese Verteilung wurden zur Vereinfachung in fünf Klassen zusammengefasst. Anhand der Daten soll die Frage beantwortet werden, in welchem Ausmaß sich die Urlaubsausgaben auf die einzelnen Gruppen von Studierenden konzentriert.

b) Die Arbeitstabelle

Dazu müssen, wie in der folgenden Arbeitstabelle ausgewiesen, die Häufigkeiten je Klasse (Spalte fi) und die Merkmalssummen je Klasse (Spalte ) prozentuiert werden (Spalte und ). Dabei wirdgesetzt. Die Prozentwerte werden in Spalte und aufkumuliert.

Tab.6-1: Arbeitstabelle zur Bestimmung der Lorenz-Kurve und des Gini-Koeffizienten

Klasse

fi


Sp 1

Sp 2

Sp 3




Sp 4




Sp 5

Sp 6

Sp 7



Sp 8

von ...

bis unter ...

0 250 17 17.0000 17.0000 125.0000 2125.0000 3.0368 3.0368 51.6256
250 650 38 38.0000 55.0000 450.0000 17100.0000 24.4373 27.4741 1159.4141
650 850 22 22.0000 77.0000 750.0000 16500.0000 23.5798 51.0539 1727.6170
850 1150 14 14.0000 91.0000 1000.0000 14000.0000 20.0071 71.0611 1709.6106
1150 3350 9 9.0000 100.0000 2250.0000 20250.0000 28.9389 100.0000 1539.5498
Summe 100 100 - - - 100 - 6187.8171


Die Werte in den Spalten 2 und 6 besagen z.B. für die erste Zeile, dass die sparsamsten 17% der Studierenden nur über 3,04% der gesamten Ausgabensumme verfügen und für die letzte Zeile, dass den am aufwändigst reisenden 9% der Studierenden 28,9% der Ausgabensumme zur Verfügung stehen.

3. Die Lorenz-Kurve

a) Das Konstruktionsprinzip

Zur Darstellung der Lorenz-Kurve werden die Werte der Spalten 3 und 7 in ein Koordinatensystem eingetragen. Dessen X-Achse weist die kumulierten prozentualen Häufigkeiten (Spalte 3) und dessen Y-Achse die kumulierten prozentualen Anteile an der Merkmalssumme (Spalte 7) aus. Für die Zeichnung der Lorenzkurve können auch die relativen kumulierten Häufigkeiten und verwendet werden.

b) Die Darstellung der Lorenzkurve

Abb. 6-2: Lorenz-Kurve der Konzentration der Urlaubsausgaben Oldenburger Studierender

c) Die Aussage der Lorenzkurve

Das Ausmaß der Konzentration kann am Abweichen der Lorenz-Kurve von der 45°-Linie gemessen werden. Da sich diese 45°-Linie bei völliger Gleichverteilung der Urlaubsausgaben ergäbe, entsprächen sich jeweils der relative Anteil der Häufigkeiten in den Ausgabenklassen und ihr Anteil an der Merkmalssumme.

4. Der Gini-Koeffizient

a) Das Konstruktionsprinzip

Für die Berechnung des Gini-Koeffizienten benötigen wir die letzte Spalte der obigen Arbeitstabelle, in der die Summe jeweils zweier aufei­nander folgender Werte mit den aufkumulierten prozentualen Häufigkeiten multipliziert werden. Der Gini-Koeffizient ergibt sich dann (Ableitung vgl. Litz, Statistische Methoden in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, 3. Aufl. S. 111 ff.) über die Spaltensumme der Spalte 8 wie folgt:

b) Die Formel bei der Eingabe von %-Werten

Es gilt:

c) Die Formel bei der Eingabe von relativen Werten

Legt man der Berechnung anstelle der Prozentwerte die relativen Anteilswerteundzugrunde lautet die Formel:

d) Die Interpretation des Ergebnisses

Für unsere Urlaubsaufwendungen erhalten wir demnach einen Wert von:

G = 1 - 0.6188 =0.3812

Da G in einem linearen Verhältnis zur Stärke der Konzentration steht, muss von einer eher geringen Konzentration gesprochen werden. Generell können bei der Interpretation der Gini-Koeffizienten folgende Aussagen gemacht werden:

0,0 < G < 0,2 : sehr schwache Konzentration
0,2 < G < 0,4 : schwache Konzentration
0,4 < G < 0,6 : mittlere Konzentration
0,6 < G < 0,8 : starke Konzentration
G 0,8 < G < 1,0 : sehr starke Konzentration.


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