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Vorbemerkungen

• In diesem Abschnitt werden Verfahren diskutiert, mit denen von den empirischen Regressions- und Korrelationsergebnissen (bzw. im Exkurs auch von der Varianzanlyse) einer Stichprobe auf die entsprechenden Zusammenhänge in der Grundgesamtheit geschlossen werden kann.

• Im Teil A basieren die Ergebnisse auf den einfachen Regressions- und Korrelationsmodellen, die auf der Plattform-Komponenten "ViLeS 1" im Modul Einfach lineare Regressions- und Korrelationsanalysen entwickelt wurden.

• Im Teil B werden die multiplen Regressions- und Korrelationsmodellen zugrunde gelegt, die auf der Plattform-Komponenten "ViLeS 1" im Modul Multiple Regressions- und Korrelationsmodelle vorgestellt wurden.

• Im Teil C (Exkurs) werden die Testansätze zur zweifaktoriellens Varianzanalyse skizziert, die auf der Plattform-Komponenten "ViLeS 1" im Modul mehrfaktorielle Variananalyse präsentiert wurde.

1. Die Regressions- und Korrelationsmodelle in der Stichprobe und in der Grundgesamtheit

a) Die Regressionsmodelle

• Die in einer Stichprobe realisierte Regressionsfunktion entstammt dem Universum aller möglichen unterschiedlichen Regressionsfunktionen, wie sie in der folgenden Abb. skizziert werden:
  

  Abb. IV-21: Stichproben im Regressionsmodell

  

• Der Hypothesentest im Regressions- und Korrelationsmodell konfrontiert eine Hypothese über die Regressionsfunktion der Grundgesamt mit der Regressionsfunktion einer Stichprobe:

  X_1i^c = A + B · X_2i   ⇔   x_1i^c = a + b · x_2i

  Mit der Ausweitung des Modells der linearen Einfachregression (vgl. ViLeS 1, Kap. 12) erfolgte eine Umbenennung des Variablenpaars (y , x) in ( x₁, x₂). Zur Unterscheidung der Funktionen werden ausserdem die Variablen und Parameter der Funktion der GG mit Großbuchstaben gekennzeichnet.

• Das Regressionsmodell der Grundgesamtheit lässt sich nun wie folgt komplettieren:

  X_1i = A + B · X_2i + U_i

b) Die Korrelationsmodelle

• Der Determinationskoeffizient der Stichprobe ergab sich in ViLeS 1 als Verhältnis der erklärten Abweichung zur Gesamtabweichung:
  .

• Der Determinationskoeffizient der Grundgesamtheit lässt sich nun entsprechend formulieren:
  
  .

c) Die Testansätze

Für das Regressions- und Korrelationsmodell ergeben sich daraus drei Testansätze:

• ein Hypothesentest für die Regressionskonstante A

• ein Hypothesentest für den Regressionskoeffizienten B und

• ein Hypothesentest für den Korrelations- bzw. Determinationskoeffizienten.

2. Der Test des Regressionskoeffizienten B

Wir betrachten zuerst das Testmodell für B, da sich darüber auch eine Aussage zur generellen Existenz eines Zusammenhang ableiten lässt.

a) Die Stichprobenverteilung der b

• Die Stichprobenverteilung der b, wie sie in Abb. IV-2 dargestellt ist, lässt sich unter der Bedingung einer normalverteilten Grundgesamtheit aus den Annahmen über den Regressionskoeffizienten der Grundgesamtheit und die Fehlerverteilung der U_i in der Grundgesamtheit bestimmen.

  Abb. IV-22 Stichprobenverteilung der b

  

• b ist normalverteilt mit einem

  • Erwartungswert E(b) = B und einer

  • Standardabweichung σ_b :
    .

  • σ_U lässt sich über die Standardabweichung der Fehler ŝ_u schätzen:
    .

b) Das Testkonzept

• Getestet wird die Hypothese:
  
  

• Der Test wird auf der der Basis einer t-Verteilung durchgeführt.
  t_b ist t-verteilt bei φ = n-2 Freiheitsgraden:
  
  mit:
  .

• Für n ≥ 30 kann diese t-Verteilung durch eine Standardnormalverteilung approximiert werden mit:
  

c) Der Annahme- und Ablehnungsbereich

• Für die Hypothese
  
  können bei n ≥ 30 folgende Grenzen für die Annahme- und Ablehnungsbereiche definiert werden:
  

• Diese können wie folgt graphisch dargestellt werden:
  

  Abb. IV-23: Annahme- und Ablehnungsbereiche für b

  

• Üblicherweise wird vor allem die Hypothese getestet:
  ,
  mit:
  
  Dies beinhaltet implizit die Prüfung, ob überhaupt ein Zusammenhang zwischen den Variablen besteht.

• Bei positiven Werten von b ergeben sich auf der Basis der t-Verteilung für die Hypothese folgende Annahme- und Ablehnungsbereiche:
  
  

  Abb. IV-24: Die Grenze des Annahmebereichs

  

• t_α0 ergibt sich bei φ = n - 2 Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von α₀ aus der Tabelle oder einem Rechner.

• Alternativ kann die Nullhypothese zurückgewiesen werden, wenn die für t₀ berechnete Signifikanz von α < 0,01 bzw. < 0,05 ist.

• Bei negativen Werten von b ergibt sich der Ablehnungsbereich für die Hypothese mit t < -t_α0 .

3. Der Test der Regressionskonstanten A

a) Die Stichprobenverteilung der a

• Die Stichprobenverteilung der a lässt sich unter der Bedingung einer normalverteilten Grundgesamtheit aus den Annahmen über die Regressionskonstante der Grundgesamtheit und die Fehlerverteilung der U_i bestimmen.

• a ist normalverteilt mit einem

  • Erwartungswert E(a) = A und einer

  • Standardabweichung σ_a :
    .

  • σ_U lässt sich wieder über die Standardabweichung der Fehler ŝ_u schätzen:
    .

b) Das Testkonzept

• Getestet wird die Hypothese:
  
  

• Der Test wird auf der der Basis einer t-Verteilung durchgeführt.
  t_a ist t-verteilt bei φ = n-2 Freiheitsgraden:
  
  mit:
  .

• Für n ≥ 30 kann diese t-Verteilung wieder durch eine Standardnormalverteilung approximiert werden mit:
  

c) Der Annahme- und Ablehnungsbereich

• Für die Hypothese
  
  können bei n ≥ 30 folgende Grenzen für die Annahme- und Ablehnungsbereiche definiert werden:
  

• Diese können wie folgt graphisch dargestellt werden:
  

  Abb. IV-25: Annahme- und Ablehnungsbereiche für a

  

• Üblicherweise wird auch hier die Hypothese getestet:
  
  mit:
  
  .

• Für die Null-Hypothese ergeben sich die Annahme- und Ablehnungsbereiche auf der Basis der t-Verteilung wie in Abb. IV-24 dargestellt.

4. Der Test des Determinationskoeffizienten ρ ² = 0

a) Die Ausgangsbedingungen des Tests

• Der Test für die Stärke des Zusammenhangs zwischen den beiden Variablen X_1i und X_2i kann sich nicht unmittelbar auf eine Verteilung der R bzw. der R² stützen.

• Sowohl die Gesamtvarianz der Stichprobe S₁², wie die Fehler-Varianz der Stichprobe S_u² , stellen keine erwartungstreuen Schätzer für die entsprechenden Varianzen der Grundgesamtheit dar.

• Aus diesem Grund sind auch R bzw. R² keine erwartungstreuen Schätzer für die entsprechenden Größen der Grundgesamtheit. Vielmehr überschätzen die Koeffizienten der Stichprobe in der Regel die der Grundgesamtheit.

• Ein erwartungstreuer Schätzer für ρ ² ist der korrigierte Determinationskoeffizient :
  .

b) Die Stichprobenverteilung der Testgröße F

• Die Stärke des Zusammenhangs wird durch ein Verhältnis von Varianzen bzw. Summen von Abstandsquadraten ermittelt.

• Die Stichprobenverteilung der Testgröße basiert ebenfalls auf Summen von Abstandsquadraten, setzt jedoch die erklärte SAQ (SAQ-Reg) ins Verhältnis zur unerklärten Summen der Abstandsquadrate (SAQ-Res):
  .

• Die Größe F folgt einer sog. F-Verteilung, die als Verhältnis zweier χ ²-Verteilungen unter Berücksichtigung der entsprechenden Freiheitsgrade FG-Reg = k -1 und FG-Res = n - k definiert ist, weshalb man präziser schreibt:
  
  Aufgrund der quadratischen Ausgangswerte nimmt F nur positive Werte an und ähnelt in ihrer Form der Chi-Quadrat-Verteilung:
  

  Abb. IV-26: F-Verteilung

  

• Im Falle einer einfachen Regressions-/Korrelationsanalyse mit k = 2 Variablen, weist die Regression einen Freiheitsgrad von Eins auf: FG-Reg = 2 - 1 = 1.

• Für diesen Fall ist die F-Verteilung durch eine t-Verteilung darstellbar mit:
  

c) Der Annahme- und Ablehnungsbereich

• Für die Hypothese ρ = 0 können bei einem Signifikanzniveau von α = 0,05 folgende Bedingungen für die Annahme- bzw. Ablehnung definiert werden:
  

  Abb. IV-27: Annahme- und Ablehnungsbereiche für F

  

• Über diesen externen Link finden Sie zur Abb. IV-27 den F-Verteilungsplotter von N. Johnston , mit dem Sie die F-Verteilung für beliebige Freiheitsgrade darstellen können.

5. Exkurs: Der Test des Korrelations- bzw. des Determinationskoeffizienten bei ρ² ≠ 0

• Für ρ ≠ 0 erlaubt die sog. Fisher's Z-Transformation einen Test beliebiger, von ρ = 0 abweichender Hypothesen.

• Für n ≥ 50 ist Z _r normalverteilt mit:
  

  Daraus ergibt sich eine Standardnormalverteilung mit Z:
  ,

• aus der folgende Annahme- und Ablehnungsbereiche resultieren:
  

• Über diesen Link finden Sie eine eine Umrechnungstabelle r --> Z_r .

Hinweise:

• Der Arbeitschritt "Beispiele und Aufgaben" zum Test des linearen Regressions- und Korrelationsmodells findet sich hier

• Teil B dieses Moduls "Test der multiplen Regressions- und Korrelationsmodelle" findet sich unter dem Link "Nächster Arbeitsschritt" in der Fußleiste.

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  letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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