1. Beispiele

Beispiel 1

Im Modul „Allgemeine Aspekte des Testmodells" (Beispiele und Aufgaben, Punkt 1) wurde bereits ein Beispiel zum Mittelwerttest vorgestellt und in drei äquivalenten Varianten durchgerechnet. Getestet wurde dabei eine Bereichshypothese H₀: μ ≥ μ₀ bei unbekanntem σ und n = 100.

Beispiel 2

Im nächsten Beispiel prüft die Geschäftsleitung einer Drogeriemarktkette, ob sie in einem Stadtteil (10.000 potentielle Kundlnnen) eine Filiale eröffnen sollte. Die Neugründung soll durchgeführt werden, wenn das für Konsumausgaben verfügbare Durchschnittseinkommen im Stadtteil 1500 EUR beträgt.
Der Jung-Betriebswirt der zuständigen Abteilung führt eine ad-hoc- Umfrage unter 10 Personen durch. Es ergibt sich ein Durchschnittseinkommen von 1600 EUR und eine Standardabweichung ŝ von 250 EUR. Getestet wird darauf hin mit einem Signifikanzniveau von 10 % die Hypothese, dass das Durchschnittseinkommen 1500 EUR beträgt. Geprüft werden soll dabei, ob das arithmetische Mittel der Stichprobe im Annahme- oder Ablehnungsbereich der Hypothese liegt.

a) Prüfung der Voraussetzungen:

• σ ist unbekannt und muss durch ŝ geschätzt werden.
  

• Die Stichprobenvariable
  

  ist bei n ≤ 30 und unbekanntem σ t-verteilt.

• bei N = 10000 Kunden und n = 10 ist kein Endlichkeitsfaktor zu berücksichtigen.

Die Hypothese H₀ lautet im beidseitigen Test H₀: μ = 1500 EUR.

c) Bestimmung des t-Wertes:

Das Stichprobenmittel liegt mit 1600 EUR im Annahmebereich der Hypothese, also könnte die Kette die Filiale errichten. Der Chef-Statistiker der Marketingabteilung wendet allerdings ein, das Ergebnis sei zu unsicher und veranlasst den Jung-Betriebswirt, eine größere Stichprobe zu erheben. In der folgenden Aufgabe soll die obige Punkthypothese anhand der Ergebnisse einer größeren Stichprobe überprüft werden

e) Graphische und rechnerische Demonstration von Annahme-/Ablehnungsbereichen

Mit dem folgenden externen Tool können Sie die Grenzen des Annahmebereichs für beliebige Normalverteilungen mit selbst gewähltem Signifikanzniveau berechnen und graphisch darstellen lassen. .

2. Aufgaben

Hinweis: Bestimmen Sie je nach Aufgabenstellung den unteren und/oder oberen Grenzwert des Annahmebereichs der jeweiligen Hypothese. Setzen Sie dazu die passenden Werte in die Felder der Formeln ein. Nicht benötigte Felder lassen Sie unverändert.

Aufgabe 33

Ein Supermarkt möchte sich in einem Stadtteil mit 10.000 potentiellen Kunden ansiedeln.

Es wird eine Stichprobe von n = 550 gezogen. Dabei ergibt sich ein Durchschnittseinkommen von 1515 EUR mit einer Standardabweichung (ŝ) von 220 EUR. Führen Sie einen beidseitigen Mittelwert-Test mit einem Signifikanzniveau von 5% durch. Prüfen Sie dabei, ob das arithmetische Mittel der Stichprobe im Annahme- oder Ablehnungsbereich der Hypothese liegt.

Im nachfolgenden Lösungsteil werden Ihnen zwei Ausführungen angeboten: Die erste (für Fortgeschrittene) prüft nur die Voraussetzungen und das Ergebnis. Dazu müssen Sie selbst die passende Formel auswählen, die relevanten Werte bestimmen und das Ergebnis berechnen. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden z-Werte finden Sie in in folgender Tabellenübersicht .
Die berechneten Werte können Sie unter 1b) einsetzen. Unter 1c) sollen Sie eine Entscheidung über Annahme oder Ablehnung der Hypothese treffen und Ihre Eingaben überprüfen lassen.
Die zweite Ausführung (für Einsteiger) führt Sie schrittweise über den Lösungsweg. Dabei werden ebenfalls die Voraussetzungen geprüft, anschließend werden Sie zur angemessenen Formel geleitet und können danach die korrekten Werte eingeben. Zu jedem Einzelschritt erfolgt eine Ergebniskontrolle.

1. Kurzpräsentation der Lösung

1a) Der Endlichkeitsfaktor muss bedacht nicht bedacht werden.

1b) Welcher Wert ergibt sich für X-Quer kritisch? (2 Nachkommastellen)
Obergrenze:
Untergrenze:

1.c) Die H0 wird angenommen abgelehnt .

 

2. Ausführliche Präsentation des Lösungsweges

Die obige Aufgabe ist

hier in 5 Schritten zu lösen! Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen. Eine ausführliche Darstellung der Lösung von Aufgabe (33) finden Sie im Link am Ende des Kapitels.

Aufgabe 34

Überlegen Sie auch, ob ein beidseitiger Test im obigen Fall die beste Wahl ist. Es ist zumindest fraglich, ob es der Supermarktkette darauf ankommt, genau 1500 EUR als Durchschnittseinkommen voraus zu setzen. Oder ob mindestens 1500 EUR, d.h. H₀: μ ≥ 1500 EUR, als Bedingung nicht besser wäre. Zur Verringerung des Investitionsrisikos wäre dann die neg. Gegenhypothese zu testen. Dies soll mit Aufgabe 34 geprüft werden. Getestet wird nun die Bereichshypothese H₀: μ ≤ 1500 EUR bei unbekanntem σ und n = 550. Zur Erhöhung der Sicherheit soll auch das Signifikanzniveau auf 1% heraufgesetzt werden.
Diese Aufgabe ist

hier in drei Schritten zu lösen!

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