Sollte das Drucken mit diesem Schaltknopf nicht funktionieren, nutzen Sie bitte die Druckfunktion in Ihrem Browser: Menü Datei -> Drucken

1. Vorbemerkung

Bisher wurde weitgehend mit beliebigen Ereignissen operiert, wobei diese Ereignisse einen konkreten Sachverhalt betreffen konnten, z.B. "Es wird eine rote Kugel gezogen", aber auch eine numerische Größe "Es wird eine "1" gewürfelt".
Zur Darstellung statistischer Ereignisse werden jedoch generell numerische Größen benötigt, d.h.: die verschiedenen möglichen, nicht numerischen Ereignisse müssen in Zahlen transformiert werden. Diese werden als Zufallsvariablen bezeichnet.
Eine Zufallsvariable ergibt sich deshalb aus einer eindeutigen Zuordnung von Zahlen zu den Ereignissen eines Zufallsexperimentes. Ihre Konstruktion basiert auf einem Definitionsbereich, der die Ereignisse beschreibt und einem Wertebreich, der die zahlenmäßigen Ausprägungen der Variablen umfasst.

• Der Definitionsbereich der Variablen ist dabei der Ereignisraum des Zufallsexperimentes,

• Der Wertebereich der Variablen besteht aus einer Menge von reellen Zahlen Z = { x₁, x₂,......x_k } , wobei gilt:, k ≤ n , da einer Ausprägung der Zufallsvariablen auch mehrere Elementarereignisse zugeordnet werden können.

Dieser Sachverhalt sei an einem einfachen Beispiel verdeutlicht:

• Beschreibung des Zufallsexperimentes: Aus einer Urne mit je einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 2 Kugeln gezogen werden, wobei die zuerst gezogene Kugel nach dem Zug zurückgelegt wird.

• Beschreibung des Ereignisraums: Der Ereignisraum besteht aus folgenden Ereignissen:

  • rot im 1. Zug, rot im 2. Zug,

  • rot im 1. Zug, schwarz im 2. Zug,

  • schwarz im 1. Zug, rot im 2. Zug,

  • schwarz im 1. Zug, schwarz im 2. Zug

• Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: Da die gezogene Kugel zurückgelegt wird, sind die Wahrscheinlichkeiten aller vier Ereignis gleich:

  P (e_i) = 1/2 · 1/2 = 1/4

• Definition der Zufallsvariablen: Die Zufallsvariable ist definiert als Anzahl der jeweils gezogenen roten Kugeln.

• Wertebereich der Zufallvariablen: Der Wertebereich besteht aus den Ziffern 0, 1, 2, wobei dem Wert "2" das Ereignis 1 (aus dem obigen Ereignisraum), dem Wert "1" die Ereignisse 2 und 3 und dem Wert "0" das Ereignis 4 zugeordnet sind.

• Wahrscheinlichkeiten des Zufallvariablen: Aus der Anzahl von Ereignissen, die den Werten der Zufallsvariablen zugeordnet werden können und ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten folgt:

  • f(X = 0) = 1/4,

  • f(X = 1) = 1/2 und

  • f(X = 2) = 1/4.

Eine graphische Veranschaulichung der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in Abb. I-7 wiedergegeben:

Abbildung I-7: Definitions- und Wertebereich einer Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wie andere Variablen auch, können Zufallsvariablen in Form stetiger und diskreter Variablen auftreten. Eine diskrete Zufallsvariable ist eine Variable mit abzählbar endlichen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen. Eine stetige Zufallsvariable ist eine Variable mit (nicht abzählbar) unendlich vielen Ausprägungen. Wir beschäftigen uns zunächst mit diskreten Zufallsvariablen:

2. Eigenschaften und Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen

a) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Eine diskrete Zufallsvariable ist somit eine veränderliche numerische Größe, deren Ausprägungen x_j jeweils mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit f(x_j) auftreten. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte der Zufallsvariablen ergibt immer Eins:

∑ f( x_j) = 1 (j = 1 ... k) .

Die allgemeine Form einer Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine diskrete Zufallsvariable lautet wie folgt:

f( x_j ) = P (X = x_j) = p_j für x_j ∈ Z

und

f( x_j ) = P (X = x_j) = 0 für x_j ∉ Z

mit:

f( x_j) ≤ 1 (j = 1 ... k) und ∑ f( x_j) = 1 (j = 1 ... k)

b) Die Wahrscheinlichkeitstabelle

Die Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion lassen sich auch tabellarisch darstellen. In einem einfachen Experimentes werden aus einem Kartenstapel mit 4 Assen (A) und 6 Bildern (B) zwei Karten gezogen. Die Ziehung erfolgt mit Zurücklegen. Der Ereignisraum E umfasst damit die vier Elementarereignisse E = { AA, AB, BA, BB }. Definieren wir nun die Zufallsvariable X als die Anzahl der gezogenen Bilder, so kann diese Variable drei Werte annehmen: "Null", "Eins" und "Zwei".

Damit ergeben sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x _i ) nach dem Multiplikationssatz folgende Werte:

Tabelle I-1: Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen

c) Die Parameter der Funktion

Analog zur Häufigkeitsverteilung lässt sich auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Lage- und Streuungsparameter charakterisieren:

• Der Erwartungswert

  entspricht von der Logik her dem Mittelwert der Verteilung. Er ist definiert als:

  

  In obigem Beispiel erhalten wir: E = 0 · 0,16 + 1 · 0,48 + 2 · 0,36 = 1,2 .
  
  Es ist also zu erwarten, dass in diesem Experiment durchschnittlich 1,2 Bilder gezogen werden. Dieses Ergebnis zeigt auch, dass der Erwartungswert nicht zwingen einen Wert ergeben muss, den die Zufallsvariable tatsächlich annehmen kann.

• Die Varianz wird entsprechend als Mittelwert (Erwartungswert) der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert berechnet, also als:

  

  Sie kann wie in der deskriptiven Statistik umgeformt werden:

  

Im Beispiel ergibt sich (eingesetzt in die Rohformel) eine Varianz von

VAR(X) = (0 - 1,2) ² · 0,16 + (1 - 1,2) ² · 0,48 + (2 - 1,2) ² · 0,36 = 0,48

d) Die Verteilungfunktion

Neben der Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder einzelnen möglichen Ausprägung der Zufallsvariable bzw. der entsprechenden Ereignisse angibt, ist auch von Interesse, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert in einem bestimmten Bereich annimmt.

Die Verteilungsfunktion, gekennzeichnet mit einem großen F, gibt dabei die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass X Werte kleiner oder gleich
x _j annimmt. Sie entspricht damit der aufkumulierten Häufigkeitsverteilung „...bis einschließlich X _j der deskriptiven Statistik.

Über die Verteilungsfunktion lässt sich auf einfache Weise ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable X Werte zwischen zwei gegebenen Werten a und b annimmt:

P( a < X ≤ b ) = F (b - F(a))

Die allgemeine Form einer Verteilungsfunktion für eine diskrete Zufallsvariable ist:

Die Werte der Verteilungsfunktion ergeben sich durch Aufkumulieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion, so dass wir für unser Kartenexperiment erhalten:

Tabelle I-2: Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen

e) Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

Die angemessene grafische Darstellungsform der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable ist das Stabdiagramm, die der Verteilungsfunktion die Treppenkurve:

Abbildung I-8: Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion

---

 

letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

Adresse dieser Seite (evtl. in mehrere Zeilen zerteilt)
http://viles.uni-oldenburg.de/navtest/viles2/kapitel01_Grundlagen~~lder~~l~~lWahrscheinlichkeitsrechnung/modul04_Zufallsvariablen~~lund~~lihre~~lVerteilung/eben
e01_Konzepte~~lund~~lDefinitionen/01__04__01__01.php3