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ViLeS 2 > Kap. I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung > I-1 Zufallsereignisse und Ereigniskalküle > Konzepte und Definitionen

Konzepte und Definitionen im Modul I-1 Zufallsereignisse und Ereigniskalküle

1. Die Zufallsstichprobe als Zufallsereignis

Zufallsereignisse sind Ergebnisse eines Zufallsprozesses. Dieser ist gekennzeichnet durch:

  • eine bestimmte Regelhaftigkeit der Durchführung,

  • die beliebige Wiederholbarkeit des Ablaufs und

  • die Unvorhersehbarkeit seines konkreten Resultats.

Gängige Beispiele sind das Werfen einer Münze oder eines Würfels, das Ziehen einer Karte aus einem Stapel und die zufällige Auswahl einer Person aus einer Personengruppe.

2. Das System der Zufallsereignisse

Die Gesamtheit aller möglichen Ereignisse wird als Ereignisfeld oder als Ereignissystem bezeichnet. Man unterscheidet dabei in nicht weiter zu differenzierende Elementarereignisse und in zusammengesetzte Ereignisse.

a) Elementarereignisse und Ereignisräume

Elementarereignisse ei sind solche Ereignisse, die sich nicht weiter aufspalten lassen. Also z.B. eine bestimmte Augenzahl als Ergebnis eines Würfelwurfs.
Die Menge aller Elementarereignisse bilden den Ereignisraum E des Zufallsexperimentes, beim Wurf eines einzelnen sechsflächigen Würfels also E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) Zusammenegesetzte Ereignisse und Ereignisräume

Wir können jedoch auch Ereignisse definieren, die mehrere Elementarereignisse enthalten. Legen wir fest, das Ereignis A sei eingetreten, wenn eine Zahl größer 3 gewürfelt wird, enthielte A drei Elementarereignisse, also A = {4, 5, 6}.
Sobald also als Ergebnis des Zufallsexperimentes eines dieser Elementarereignisse eintritt, tritt auch das Ereignis A ein.

Die bisherigen Zusammenhänge sind in der nachfolgenden Übersicht zusammengefasst:

Abbildung I-2: Zufallsexperimente und Ereignisse

c) Ereignistypen

Neben den Elementarereignissen und Ereignissen, die mehrere Elementarereignisse enthalten, sind die folgenden Ereignistypen zu unterscheiden, jeweils illustriert am Beispiel eines einfachen Würfelwurfs:

  • Das Teilereignis B ⊂ A: Ist A definiert als Augenzahl größer 2 und B als Augenzahl größer 5, so wäre B Teilereignis von A.

  • Das Sichere Ereignis S besteht im Wurf einer Augenzahl zwischen 1 und 6. Dieses Ereignis tritt in jedem Fall ein.

  • Das unmögliche Ereignis wäre z. B. ein Wurf einer Augenzahl größer 6. Dieses Ereignis tritt in keinem Fall ein.

  • Das komplementäre Ereignis Ā umfasst den gesamten Bereich des Ereignisraumes E, der nicht dem Ereignis A zugeordnet ist. Wenn A = {2 ,4 ,6}, also die geraden Augenzahlen beinhaltet, so ist Ā = {1, 3, 5} und umfasst die ungeraden Augenzahlen.

  • Disjunkte Ereignisse sind solche Ereignisse, zwischen denen keine Schnittmenge existiert, die sich also gegenseitig ausschließen, z.B.: A = {1,2,3} und B = {5, 6}.

  • Äquivalente Ereignisse A = B sind Ereignisse mit identischen Elementarereignissen, also das Ereignis A mit : A = {2, 4, 6} und das Ereignis B, das alle geraden Augenzahlen umfasst.

d) Ereignisoperationen

Die Verknüpfung von Ereignissen erfolgt über Ereignisoperationen. Diese entsprechen denen der allgemeinen Mengenlehre. Ereignisse lassen sich graphisch in Form von Venn-Diagrammen darstellen. Dabei wird der Ereignisraum d.h. die Menge aller Elementarereignisse als Rechteck, die über dem Raum definierten Ereignisse als beliebige Teilflächen dieses Rechtecks ausgedrückt.

Wir definieren als:

  • Schnittmenge (UND-Verknüpfung) zweier Ereignisse das gemeinsame Auftreten zweier Ereignisse A und B und schreiben C = A ∩ B,

    Abbildung I-3a: Darstellung der Schnittmenge im Venn-Diagramm


    Sind A und B disjunkt, gilt: A ∩ B = ∅.

  • Vereinigungsmenge (ODER-Verknüpfung) das Auftreten des Ereignisses A odes des Ereignisses B und schreiben : C = A ∪ B

    Abbildung I-3b: Darstellung der Vereinigung im Venn-Diagramm


    Es gilt: A ∪ Ā = S.

  • Differenz zweier Ereignisse das Auftreten des Ereignisses A ohne deren Elemente in B und schreiben: C = A - B.

    Abbildung I-3c: Darstellung der Differenz im Venn-Diagramm

Die Definitionen zu den Ereignistypen und -operationen sind in der nachfolgenden Übersicht zusammengefasst:

Übersicht I: Ereignistypen und -operationen

3. Zweidimensionale Zufallsereignisse

Die Dimensionalität von Ereignissen bezeichnet die Häufigkeit, mit der ein Experiment durchgeführt wird, also z.B. die Anzahl gemeinsam oder hintereinander geworfener Würfel oder die Anzahl aus einem Stapel gezogener Karten.
Zweidimensionale Ereignisse sind demnach Ereignisse, die zweimal ausgeführt werden, also z. B. einen Würfel zweimal zu werfen oder zwei Würfel zu werfen.
Ein zweidimensionales Ereignis wäre also das Ereignis zweimal eine "6" zu werfen.
Zwei- und mehrdimensionale Ereignisse werden im Modul zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ausführlicher behandelt.


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