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1. Die standardisierten Variablen z_j (j = 1,2)

a) Definition und Funktion standardisierter Variablen

• Definition der standardisierten Variablen:
  

  Eine standardisierte Variable weist einen Mittelwert von "0" und eine Standardabweichung von "1" auf. Eine beliebige Variable x_j kann in eine standardisierte Variable z_j transformiert werden, dabei führt die Standardisierung zu einer Rescalierung der Ausgangswerte.

• Die Funktion der Standardisierung:
  
  Aus verschiedenen Gründen kann es sinnvoll sein, eine beliebige Variable x_j in eine standardisierte Variable z_j zu transformieren:

  • So lässt sich die formale Betrachtung von komplexen statistischen Zusammenhängen wesentlich vereinfachen, wenn man sie für standardisierte Variablen durchführt. Insofern bereitet dieser Abschnitt die folgenden Methodenbeschreibungen vor.

  • Wie nachstehend gezeigt wird, eignet sich der standardisierte Regressionskoeffizient besonders für den Vergleich des Einflusses unterschiedlicher Regressoren.

  • Darüber hinaus stehen standardisierte Variablen im Zentrum der schließenden Statistik (vgl.: ViLeS 2)

• Beispiel einer standardisierten Variablen:
  

  Als Beispiel betrachten wir die skalierte Variable z_Partprof, die sich aus der Variablen Partprof der tatsächlichen Beteiligung ableiten lässt:
  
  Abbildung 12-2: Die Verteilung der standardisierten Variablen z_Partprof
  
  

  Die Beobachtungen streuen nun um den Mittelwert von "0". Die Skaleneinheit beträgt eine Standardabweichung und die Skalenwerte reichen von -2 bis +3, d.h. die Abweichungen vom Mittelwert werden nicht mehr in den ursprünglichen Einheiten gemessen sondern in der Einheit "Standardabweichung". Die innere Struktur der Verteilung bleibt hingegen unverändert.

b) Die Standardisierung der Variablen x_j

Wir erhalten die standardisierte Variable z_j über:

2. Regression zwischen standardisierten Variablen

a) Die Regressionsfunktion

• Die Funktionsform:
  Die Regressionsfunktion z₁^c = f(z₂) lautet:
  
  z₁^c = a* + b* · z₂ , mit a* und b* wie folgt:
  

  Zu den Formeln für die Regressionsparameter vgl. b).

• Die Darstellung im Streuungsdiagramm:

  Das Zentrum der Punktwolke liegt im 0-Punkt des Koordinatensystems und die Funktion verläuft durch diese Mitten der Verteilungen:

  Abbildung 12-3: Die Funktion im Koordinatensystem
  
  

  Die Fehlerquadrate werden minimiert, wenn die Regressionsfunktion, wie in Abb. 12-3 gezeigt, durch die arithmetischen Mittel der beiden Verteilungen verläuft.

b) Die Regressionsparameter

• Die Ermittlung:

  • Die Parameter a_z1z2 und b_z1z2 der Regressionsfunktion mit standardisierten Variablen z₁ und z₂ ergeben sich nach der Methode der kleinsten Quadrate für gemäß den in Kap. 11 vorgestellten Formeln. Danach folgt:
    
    

  • Daraus resultiert die Regressionsfunktion mit β_z1z2 als Regressionskoeffizient.
    

• Die Interpretation des beta-Koeffizienten :

  • Der standardisierte Regressionskoeffizient β_z1z2 drückt den Einfluss des Regressors unabhängig von der Skalierung der Variablen aus.

  • Sein Wert gibt an, um wieviele Standardabweichungen sich die abhängige Variable verändert, wenn die unabhängige Variable um eine Standardabweichung zunimmt.

  • Er ist deshalb besonders geeignet, die Einflüsse verschiedener Regressoren mit einander zu vergleichen und wird deshalb von SPSS standardmäßig ausgewiesen.

3. Der Korrelations- und Determinationskoeffizient

a) Die Ermittlung von R und R²

Wie schon bei der rechnerischen Bestimmung der Regressionsparameter stützt sich die Berechnung des Korrelations- und des Determinationskoeffizienten auf die entsprechenden Formeln in Kap. 11.

b) Die Interpretation von R und R²

R² verkörpert das Ausmaß der Varianz von z₁, das durch den Regressor z₂ erklärt wird. Dabei sind zwei Aspekte von zentraler Bedeutung:

• Im Falle standardisierter Variablen entsprechen sich Korrelationskoeffizient und Regressionkoeffizient.

• Der Korrelationskoeffizient zwischen standardisierten Variablen entspricht dem Korrelationskoeffizient zwischen nicht-standardisierten Variablen.
  Dies ist auschlaggebend für Regressions- und Korrelationsanalysen auf der Basis standardisierter Variablen, weil somit die Standardisierung keinen Einfluss auf die Stärke des Zusammenhangs hat.

letzte Änderung am 28.2.2020 um 7:49 Uhr.

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