- Aufgabe 1 Diskutieren Sie in zwei Schritten die folgenden Fragen:
a) Wie wirkt sich die Wahl der Parameter auf die Form der Normalverteilung aus?
b) Für welche Verteilungen gilt die Regel, dass innerhalb der Intervalle μ ± k · σ immer bestimmte Flächenanteile liegen?
Schritt 1 - Aufgabe 1, Frage a) Auswirkung der Parameter?
Schritt 2 - Aufgabe 1, Frage b) Gültigkeit der Regel?
- Aufgabe 19: Auf welchen Wert ist ein Kaffeautomat einzustellen, damit Tassen, die nicht mehr als 25cl fassen, nur in 1% aller Fälle überlaufen? Dabei ist die Füllmenge normalverteilt mit σ = 1.5 cl.
Schritt 1 - Aufgabe 19 a) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 19 b) Z-Wert?
Schritt 3 - Aufgabe 19 c) Formel ?
Schritt 4 - 19 d Ermittlung des Einstellwertes.
- Aufgabe 20: Die Füllung einer Flasche Gesichtswasser ist normalverteilt mit μ = 152 ccm und σ = 2 ccm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Flasche ausserhalb des Toleranzbereichs 150 ± 4 ccm liegt?
Schritt 1 - Aufgabe 20 a) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 20 b) Z u -Wert?
Schritt 3 - Aufgabe 20 c) Z o Wert?
Schritt 4 - Aufgabe 20 d) Gesamt-Wahrscheinlichkeit ?
- Aufgabe 21 a) Eine Partei hat bei der nächsten Wahl 5% aller Stimmen zu erwarten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 1000 Personen genau 50 angeben, diese Partei zu wählen?
Schritt 1 - Aufgabe 21 a-1) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 2 - Aufgabe 21 a-2) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 3 - Aufgabe 21 a-3) Parameter der Normalverteilung
Schritt 4 - Aufgabe 21 a-4) Z-Werte
Schritt 5 - Aufgabe 21 a-5) Wahrscheinlichkeit
- Aufgabe 21 b) Eine Partei hat bei der nächsten Wahl 5% aller Stimmen zu erwarten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 1000 Personen 50 oder weniger Personen angeben, diese Partei zu wählen?
Schritt 1 - Aufgabe 21 b-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 21 b-2) Z-Wert
Schritt 3 - Aufgabe 21 b-3) Wahrscheinlichkeit
- Aufgabe 22:
Eine Zufallsvariable sei χ ²- verteilt mit 12 Freiheitsgraden.
a) Bestimmen Sie den Abszissenwert des Maximums der Verteilung und skizzieren Sie daraufhin die Verteilung.
b) Ermitteln Sie Erwartungswert, Median und Varianz der Variablen.
c) Bestimmen Sie ein Intervall, in dem 95% der Beobachtungen erwartet werden.
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Variable (in etwa) Werte zwischen 3 und 21 an?
Schritt 1 - Aufgabe 22 a)Maximum der Verteilung
Schritt 2 - Aufgabe 22 b) Parameter der Verteilung
Schritt 3 - Aufgabe 22c) Wahrscheinlichkeit
Schritt 4 - Aufgabe 22d ) Wahrscheinlichkeit
- Aufgabe 23: Extrakosten bei Unpünktlichkeit einer Buslinie in Panama. Die Abweichungen d in der Ankunftszeit des Busses seien normalverteilt mit E (d) = 0 und σ = 1 (in Tagen). Die Kosten K eines zu frühen oder zu späten Eintreffens steigen mit der Größe der Abweichung gemäß K = 50 d² EUR. Die Kosten der Unpünktlichkeit für n Fahrten betragen also K n = ∑ 50 di² EUR (i= 1..n).
Schritt 1 - Aufgabe 23 a) Extrakosten bei n=1
Schritt 2 - Aufgabe 23 b) Extrakosten > 250 EUR
Schritt 3 - Aufgabe 23 c) Extrakosten bei n=26 < 2100 €, bei n=52 < 3100 €?
- Aufgabe 24: Eine Zufallsvariable sei t-verteilt mit 20 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
a) t zwischen -1,325 und 1,725 liegt,
b) etwas über 2,5 liegt und
c) kleiner als -0,86 ist!
d) In welchem mittleren Bereich liegen ihre Realisationen mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %?
Schritt 1 - Aufgabe 24 a) t zwischen -1,325 und 1,725
Schritt 2 - Aufgabe 24 b) t etwas über 2,5
Schritt 3 - Aufgabe 24 c) t kleiner als -0,86
Schritt 4 - Aufgabe 24 d) mittlerer 99%-Bereich für t
- Aufgabe 25:
Vergleichen Sie die Güte der Approximation einer t - Verteilung mit φ= 20,30,50 und ∞ Freiheitsgraden an eine entsprechende Normalverteilung anhand der jeweiligen Zo - bzw. to - Werte. Verwenden Sie das 99. Zentil als Grundlage des Vergleichs.
Schritt 1 - Aufgabe 25 a) φ = 20
Schritt 2 - Aufgabe 25 b) φ = 30
Schritt 3 - Aufgabe 25 c) φ = 50
Schritt 4 - Aufgabe 25 d) φ = ∞
- Aufgabe 27: Nehmen Sie Stellung zu folgenden Aussagen:
a) Der Erwartungswert des arithmetischen Mittels einer Zufallsvariablen in gleichartigen Stichproben aus derselben Grundgesamtheit ist gleich dem arithmetischen Mittel der Grundgesamtheit.
b) Der Erwartungswert der Standardabweichungen einer Zufallsvariablen in gleichartigen Stichproben aus derselben Grundgesamtheit ist gleich der Standardabweichung dieser Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit.
c) Das Quadrat des Standardfehlers des arithmetischen Mittels einer Zufallsvariablen verhält sich umgekehrt proportional zum Betrag der Varianz dieser Variablen in der Grundgesamtheit.
d) Der Betrag des Standardfehlers des arithmetischen Mittels einer Zufallsvariablen verhält sich proportional zum Stichprobenumfang.
e) Das Verhältnis Standardabweichung zu arith. Mittel in einer Stichprobe ist immer gleich diesem Verhältnis in der zugehörigen Grundgesamtheit.
Schritt 1 - Aufgabe 27 a) E(X) = E(X̄) ?
Schritt 2 - Aufgabe 27 b) E(s) = σ ?
Schritt 3 - Aufgabe 27 c) VAR(X̄) umgekehrt proportional zu σ² ?
Schritt 4 - Aufgabe 27 d) σ X̄ umgekehrt proportional zu n ?
- Aufgabe 28 a1) Ein Sägewerk liefert Grubenstempel als geschlossene Partie von 1200 Stück, deren Länge normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 60 cm und einer Varianz von 36 cm. Es werden Stichproben vom Umfang 36 gezogen.
Welcher Anteil der Stichproben wird einen Mittelwert zwischen 59 und 61 cm liefern
Schritt 1 - Aufgabe 28 a1-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 28 a1-2) Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 28 a1-3) σX̄ ?
Schritt 4 - Aufgabe 28 a1-4) Welche Z- Werte ergeben sich?
Schritt 5 - Aufgabe 28 a1-5) Ergebnis
- Aufgabe 28 a2) Ein Sägewerk liefert Grubenstempel als geschlossene Partie von 1200 Stück, deren Länge normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 60 cm und einer Varianz von 36 cm. Es werden Stichproben vom Umfang 36 gezogen.
In welchem symmetrischen Intervall um den Mittelwert der GG liegen 90% aller Stichprobenmittelwerte?
Schritt 1 - Aufgabe 28 a2-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 28 a2-2) Welche Z- Werte ergeben sich?
Schritt 3 - Aufgabe 28 a 2-3) Formel auswählen
Schritt 4 - Aufgabe 28a 2-4) Werte einsetzen
- Aufgabe 28 b1) Ein Sägewerk liefert Grubenstempel als geschlossene Partie von 1200 Stück, deren Länge normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 60 cm und einer Varianz von 36 cm. Es werden Stichproben vom Umfang 100 gezogen.
Welcher Anteil der Stichproben wird einen Mittelwert zwischen 59 und 61 cm liefern
Schritt 1 - Aufgabe 28 b1-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 28 b1-2) Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 28 b 1-3) Wert des Endlichkeitsfaktors
Schritt 4 - Aufgabe 28 b1-4) σX̄ ?
Schritt 5 - Aufgabe 28 b1-5) Welche Z- Werte ergeben sich?
Schritt 6 - Aufgabe 28 b 1-6) Ergebnis
- Aufgabe 28 b2) Ein Sägewerk liefert Grubenstempel als geschlossene Partie von 1200 Stück, deren Länge normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 60 cm und einer Varianz von 36 cm. Es werden Stichproben vom Umfang 100 gezogen.
In welchem symmetrischen Intervall um den Mittelwert der GG liegen 95% aller Stichprobenmittelwerte?
Schritt 1 - Aufgabe 28 b2-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 28 b 2-2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 28b 2-3) Werte einsetzen
- Aufgabe 28 c1) Ein Sägewerk liefert Grubenstempel als geschlossene Partie von 1200 Stück, deren Länge normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 60 cm. Die Varianz der Partie ist nicht bekannt. Es werden Stichproben vom Umfang von 9 gezogen. Die Stichprobe ergibt ein ŝ von 7 cm.
Welcher Anteil der Stichproben wird einen Mittelwert zwischen 55.66 und 64.34 cm liefern?
Schritt 1 - Aufgabe 28 c1-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 28 c1-2) Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 28 c1-3) Freihitsgrade und t - Werte ?
Schritt 4 - Aufgabe 28 c1-4) Ergebnis
- 28 c2) Ein Sägewerk liefert Grubenstempel als geschlossene Partie von 1200 Stück, deren Länge normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 60 cm. Die Varianz der Partie ist nicht bekannt. Es werden Stichproben vom Umfang von 9 gezogen. Die Stichprobe ergibt ein ŝ von 7 cm.
In welchem symmetrischen Intervall um den Mittelwert liegen 95% aller Stichprobenmittelwerte?
Schritt 1 - Aufgabe 28 c2-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 28 c 2-2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 28c 2-3) Werte einsetzen
- Aufgabe 29a)
Der Durchmesser von Wellen, die auf einer bestimmten Drehbank gefertigt werden, ist normalverteilt mit einer Varianz von 0,01 mm².
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Varianz von 20 zufällig ausgewählten Wellen zwischen 0,005325 mm² und 0,015865 mm² liegt?
Schritt 1 - Aufgabe 29 a1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 29 a2) Vetreilung von ŝ²
Schritt 3 - Aufgabe 29 a3) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 4 - Aufgabe 29 a4) χ²- Werte ?
Schritt 5 - Aufgabe 29 a5) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 6 - Aufgabe 29 a6) Ergebnis
- Aufgabe 29b)
Der Durchmesser von Wellen, die auf einer bestimmten Drehbank gefertigt werden, ist normalverteilt mit einer Varianz von 0,01 mm².
In welchem Bereich liegen bei n = 25 die Standardabweichungen der Stichproben mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.90?
Schritt 1 - Aufgabe 29 b1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 29 b 2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 29 b3) Freiheitsgrade und χ²- Werte ?
Schritt 4 - Aufgabe 29b-4: Werte einsetzen
- Aufgabe 29 c)
Der Durchmesser von Wellen, die auf einer bestimmten Drehbank gefertigt werden, ist normalverteilt mit einer Varianz von 0,01 mm².
In welchem Bereich liegen die Standardabweichungen von Stichproben im Umfang von n = 50 bei einer Wahrscheinlichkeit von 0.90?
Schritt 1 - Aufgabe 29 c 1) Formel auswählen
Schritt 2 - Aufgabe 29 c2) Welche Freiheitsgrade und Z- Werte ergeben sich?
Schritt 3 - Aufgabe 29 c 3) Werte einsetzen
- B 3) Eine Partei hat bei der nächsten Wahl 5% aller Stimmen zu erwarten. In welchem Bereich pu - po werden bei einer Befragung von 1000 Personen die Anteilswerte mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegen?
Schritt 1 - Aufgabe 3.1 - 1: Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 3.1 - 2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 3.1 -3 Werte einsetzen
Schritt 4 - Aufgabe 3.1 - 4: Wahrscheinlichkeitsaussage
- Aufgabe 30 a) Eine sehr große Grundgesamtheit besteht zu 10% aus Gelbwählern und zu 90% aus Nicht-Gelbwählern".
Berechnen Sie mit Hilfe der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit dass, bei einer Stichprobe vom Umfang 15 drei oder mehr, d.h. 20 % oder mehr Gelbwähler zu finden sind.
Schritt 1 - Aufgabe 30 a) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 30 a) Ergebnis
- Aufgabe 30 b -1)
Eine sehr große Grundgesamtheit besteht zu 10% aus Gelbwählern und zu 90% aus Nicht-Gelbwählern".
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einer Stichprobe vom Umfang 150
einundzwanzig und mehr Gelbwähler (K ≥21) zu finden.
Schritt 1 - Aufgabe 30 b 1-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 30 b 1-2) Approximation möglich?
Schritt 3 - Aufgabe 30 b 1-3) Z-Wert
Schritt 4 - Aufgabe 30 b 1-4) Berechnung der Wahrscheinlichkeit
- Aufgabe 30 b-2)
Eine sehr große Grundgesamtheit besteht zu 10% aus Gelbwählern und zu 90% aus Nicht-Gelbwählern".
Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, bei einer Stichprobe vom Umfang 150
14% und mehr Gelbwähler (p ≥ 0.14) zu finden.
Schritt 1 - Aufgabe 30 b 2-1) Wahrscheinlichkeitsaussage
Schritt 2 - Aufgabe 30 b 2-2) Z-Wert für die Approximation?
Schritt 3 - Aufgabe 30 b 2-3) Berechnung der Wahrscheinlichkeit
- Neue Aufgabe
Notice: Undefined offset: 1 in /var/www/public/exgen/home.php on line 13
Warning: mysql_fetch_array() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /var/www/public/exgen/home.php on line 17
- Aufgabe 31 a)
Von 1000 Wellen, die täglich mit einem Drehautomaten gefertigt werden, genügen 100 nicht den Qualitätsanforderungen.
Aus der Tagesproduktion werden 100 Wellen zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind davon zwischen 85 und 95 der Wellen von ausreichender Qualität?
Schritt 1 - Aufgabe 31 a-1) Wahrscheinlichkeitaussage
Schritt 2 - Aufgabe 31 a-2) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 3 - Aufgabe 31 a-3) Endlichkeitsfaktor
Schritt 4 - Aufgabe 31a 1-4) Formel auswählen
Schritt 5 - Aufgabe 31 a-5) Welche Freiheitsgrade und Z- Werte ergeben sich?
Schritt 6 - Aufgabe 31 a-6) Wahrscheinlichkeitaussage
- Aufgabe 31 b) Von 1000 Wellen, die täglich mit einem Drehautomaten gefertigt werden, genügen 100 nicht den Qualitätsanforderungen.
Welcher Ausschussanteil wird in einer Stichprobe (n=100) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 höchstens erreicht?
Schritt 1 - Aufgabe 31 b-1) Wahrscheinlichkeitaussage
Schritt 2 - Aufgabe 31 b-2) Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 31b 3) Formel auswählen
Schritt 4 - Aufgabe 31 b-4) Werte einsetzen
- Aufgabe 33)
Ein Supermarkt möchte sich in einem Stadtteil mit 10.000 potentiellen Kunden ansiedeln, wenn das verfügbare Einkommen der Hauhalte bei 1500 EUR liegt.
Es wird eine Stichprobe von n = 550 gezogen. Dabei ergibt sich durchschnittlich ein verfügbares Einkommen von 1515 EUR mit einer Standardabweichung (ŝ) von 220 EUR. Führen Sie einen beidseitigen Mittelwert-Test mit einem Signifikanzniveau von 5% durch. Prüfen Sie dabei, ob das arithmetische Mittel der Stichprobe im Annahme- oder Ablehnungsbereich der Hypothese liegt.
Schritt 1 - Aufgabe 33 -1) Hypothese?
Schritt 2 - Aufgabe 33 -2 Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 33 3) Formel auswählen
Schritt 4 - Aufgabe 33-5) Werte einsetzen
Schritt 5 - Aufgabe 33 -5) Neugründung?
- Aufgabe 34) Anknüpfend an die Aufgabe 33 soll geprüft werden, ob ein beidseitiger Test die beste Wahl war. Es ist zumindest fraglich, ob es der Supermarktkette darauf ankommt, genau 1500 EUR als Durchschnittseinkommen vorauszusetzen oder ob mindestens 1500 EUR, d.h. H0: μ ≥ 1500 EUR, als Bedingung nicht besser wäre. Zur Verringerung des Investitionsrisikos wäre dann die neg. Gegenhypothese H0: μ ≤ 1500 EUR zu testen. Zur Erhöhung der Sicherheit soll auch das Signifikanzniveau auf 1% heraufgesetzt werden (X̄ = 1550 EUR, ŝ = 220 EUR, n = 550).
Schritt 1 - Aufgabe 34 1) Formel auswählen
Schritt 2 - Aufgabe 34-2) Werte einsetzen
Schritt 3 - Aufgabe 34 -3) Neugründung?
- Aufgabe 35
Im Bundesstaat Texas betrug der Anteil der Analphabeten in der Bevölkerung vor eingen Jahren noch 20%. Durch ein Förderprogramm sollte die Analphabetenquote bereits merklich gesunken sein.
350 zufällig ausgewählten Personen wurde ein Test vorgelegt, den 49 nicht bestanden. Führen Sie einen Hypothesentest zu π0 mit einem Signifikanzniveau von 0,05 durch, der eine eindeutige Aussage über den Rückgang der Quote erlaubt. Ist es dazu sinnvoll, die Hypothese π0 ≤ 0,2 auf Annahme oder die Hypothese π0 ≥ 0,2 auf Ablehnung zu testen? Zu welchem Ergebnis kommen Sie?
Schritt 1 - 35 -1) Welche Hypothese?
Schritt 2 - 35 -2) Welche Art von Test?
Schritt 3 - Aufgabe 35 -3) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 4 - Aufgabe 35 4) Endlichkeitsfaktor
Schritt 5 - Aufgabe 35 -5) Formel auswählen
Schritt 6 - Aufgabe 35 - 6) Werte einsetzen
Schritt 7 - Aufgabe 35 -7) Senkung der Analphabetenquote?
- Aufgabe 36 a)
Partei A will herausfinden, wie bei der Kommunalwahl in der Stadt B (50.000 WählerInnen) ihre Chancen zur Überwindung der 5%-Grenze stehen.
Von 15 zufällig ausgewählten WählerInnen einer Stichprobe würde keiner die Partei A wählen. Formulieren Sie die Nullhypothese, dass A die 5%-Hürde überwinden wird, und testen Sie diese mit einem Signifikanzniveau von 10%! Welchen Rat würden Sie der Partei geben?
Schritt 1 - Aufgabe 36a -1) Hypothese?
Schritt 2 - Aufgabe 36 a-2) Welche Art von Test?
Schritt 3 - Aufgabe 36 a -3) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 4 - Aufgabe 36 a -4) Grenze des Annahmebereichs
Schritt 5 - Aufgabe 36 a -5) Ablehnung der Hypothese?
Schritt 6 - Aufgabe 36 a -6) Ratschlag
- Aufgabe 36 b) Partei A will herausfinden, wie bei der Kommunalwahl in der Stadt B (50.000 WählerInnen) ihre Chancen zur Überwindung der 5%-Grenze stehen.
A fühlt sich durch das Ergebnis des ersten Tests ermutigt und möchte nun mit einer zweiten, größeren Umfrage noch etwas genauer abschätzen lassen, ob sie mindestens die 5%-Grenze erreicht. Das von A beauftragte Meinungsforschungsinstitut M führt eine Umfrage mit n = 2000 durch. 80 WählerInnen geben an, A wählen zu wollen. Testen Sie mit einem 5% Signifikanzniveau die obige Hypothese und bewerten Sie das Ergebnis.
Schritt 1 - Aufgabe 36b -1) Hypothese?
Schritt 2 - Aufgabe 36 b-2) Welche Art von Test?
Schritt 3 - Aufgabe 36 b -3) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 4 - Aufgabe 36 b -4) Endlichkeitsfaktor
Schritt 5 - Aufgabe 37 b 5) Formel auswählen
Schritt 6 - Aufgabe 36 b - 6) Werte einsetzen
Schritt 7 - Aufgabe 36 b -7) Testergebnis
- Aufgabe 36 c) Partei A will herausfinden, wie bei der Kommunalwahl in der Stadt B (50.000 WählerInnen) ihre Chancen zur Überwindung der 5%-Grenze stehen.
Das von A beauftragte Meinungsforschungsinstitut M führt eine Umfrage mit n = 2000 durch. 80 WählerInnen geben an, A wählen zu wollen. Testen Sie nun mit einem 1% Signifikanzniveau.
Schritt 1 - Aufgabe 36 c - 1) Werte einsetzen
Schritt 2 - Aufgabe 36 c -2) Testergebnis
- Aufgabe 36 d)
Partei A will herausfinden, wie bei der Kommunalwahl in der Stadt B (50.000 WählerInnen) ihre Chancen zur Überwindung der 5%-Grenze stehen.
In einer Umfrage mit n = 2000 geben 80 WählerInnen an, A wählen zu wollen. Die Nullhypothese, dass A die 5%-Hürde überwinden wird, soll anhand der entsprechenden Gegenhypothese überprüft werden. Wie viel % der Wähler müssten sich dann in einer 2000er-Stichprobe mindestens für A aussprechen, damit sie diese Hypothese ablehnen kann? (Signifikanzniveau: d-1: 5% und d-2: 1%).
Schritt 1 - Aufgabe 36 d-1 -1) Hypothese?
Schritt 2 - Aufgabe 36 d-1-2) Welche Art von Test?
Schritt 3 - Aufgabe 36 d-1 -3) Formel auswählen
Schritt 4 - Aufgabe 36 d - 1.1-4) Werte einsetzen bei SN = 0,05
Schritt 5 - Aufgabe 36 d - 1.2-4) Werte einsetzen bei SN = 0,01
Schritt 6 - Aufgabe 36 d -1-6) notwendiges Testergebnis?
- Aufgabe 36 e) Diskutieren Sie anhand der Teilaufgaben 36 a-d die Problematik der Festlegung der Testhypothese und des Signifikanzniveaus.
Schritt 1 - Aufgabe 36 e 1) Teststrategien
- Aufgabe 37 a (Kurzfassung des Lösungsweges)
Ein Produzent von Getränkeabfüllautomaten bietet eine Neuentwicklung mit einer wesentlich genaueren Einhaltung der Abfüllmenge an. Nach seinen Angaben streut die Sollmenge nur noch mit einer Standardabweichung von 1,0 ml. Die bisherige Standardabweichung betrug 1,1 ml. Ein Großabnehmer testet vor Ort die Anlage mit 30 Flaschenfüllungen. Dabei wird ein ŝ von 0,9 ml ermittelt. Liegt dieser Wert im Annahme- oder Ablehnungsbereich? Formulieren und testen Sie eine angemessene Hypothese mit einem Signifikanzniveau von 10%.
Schritt 1 - Aufgabe 37 a-1) Welche Hypothese ist angemessen?
Schritt 2 - Aufgabe 37 a 2 Werte einsetzen
Schritt 3 - Aufgabe 37 a-3) Welche Schlussfolgerung ergibt der Test?
- Aufgabe 37 b (Langfassung der Lösung)
Ein Produzent von Getränkeabfüllautomaten bietet eine Neuentwicklung mit einer wesentlich genaueren Einhaltung der Abfüllmenge an. Nach seinen Angaben streut die Sollmenge nur noch mit einer Standardabweichung von 1,0 ml. Die bisherige Standardabweichung betrug 1,1 ml. Ein Großabnehmer testet vor Ort die Anlage mit 30 Flaschenfüllungen. Dabei wird ein ŝ von 0,9 ml ermittelt. Liegt dieser Wert im Annahme- oder Ablehnungsbereich? Formulieren und testen Sie eine angemessene Hypothese mit einem Signifikanzniveau von 10%.
Schritt 1 - Aufgabe 37 b -1) Welche Hypothese ist angemessen?
Schritt 2 - Aufgabe 37 b-2) Welche Art von Test?
Schritt 3 - Aufgabe 37 b -3) Welcher Verteilung folgt die Testgröße??
Schritt 4 - Aufgabe 37 b 4) Formel auswählen
Schritt 5 - Aufgabe 37 b -5) Wert der Zufallsvariablen?
Schritt 6 - Aufgabe 37 b 6 Werte einsetzen
Schritt 7 - Aufgabe 37 b-7) Welche Schlussfolgerung ergibt der Test?
- Aufgabe 37 c) Ein Produzent von Getränkeabfüllautomaten bietet eine Neuentwicklung mit einer wesentlich genaueren Einhaltung der Abfüllmenge an. Nach seinen Angaben streut die Sollmenge nur noch mit einer Standardabweichung von 1,0 ml. Die bisherige Standardabweichung betrug 1,1 ml. Ein Großabnehmer testet vor Ort die Anlage mit 30 Flaschenfüllungen. Dabei wird ein ŝ von 0,9 ml ermittelt. Liegt dieser Wert im Annahme- oder Ablehnungsbereich? Formulieren und testen Sie eine angemessene Hypothese nun mit einem Signifikanzniveau von 1%.
Schritt 1 - Aufgabe 37 c -1) Wert der Zufallsvariablen?
Schritt 2 - Aufgabe 37 c 2 Werte einsetzen
Schritt 3 - Aufgabe 37 c-3) Welche Schlussfolgerung ergibt der Test?
- Aufgabe 38
Ein Produzent von Getränkeabfüllautomaten bietet eine Neuentwicklung mit einer wesentlich genaueren Einhaltung der Abfüllmenge an. Nach seinen Angaben streut die Sollmenge nur noch mit einer Standardabweichung von 1,0 ml. Die bisherige Standardabweichung betrug 1,1 ml. Aufgrund der in Aufgabe 37 bei einem 10%-igem Signifikanzniveau erzielten unklaren Ergebnissen besteht der Großabnehmer darauf, die Anlage nun mit 300 Flaschenfüllungen und einem Signifikanzniveau von 1% zu testen. Dabei wird ein ŝ von 0,90 ml ermittelt. Liegt dieser Wert nun im Annahme- oder Ablehnungsbereich? Formulieren und testen Sie eine angemessene Hypothese.
Schritt 1 - Aufgabe 38 -1) Welche Hypothese ist angemessen?
Schritt 2 - Aufgabe 38 2) Welche Art von Test?
Schritt 3 - Aufgabe 38 3) Welcher Verteilung folgt die Testgröße??
Schritt 4 - Aufgabe 38 4) Formel auswählen
Schritt 5 - Aufgabe 38 5) Wert der Zufallsvariablen?
Schritt 6 - Aufgabe 38 6) Werte einsetzen
Schritt 7 - Aufgabe 38 -7) Welche Schlussfolgerung ergibt der Test?
- Aufgabe 39)
Prüfen Sie anhnand der Tab. IV-6, ob das Interesse an Fußball abhängig vom Geschlecht ist? Testen Sie die relevante Hypothese mit einem 10%-igem Signifikanzniveau.
Schritt 1 - Aufgabe 39 - 1) Welche Hypothese wird getestet?
Schritt 2 - Aufgabe 39 -2) Welche χ² - Hypothese ist angemessen?
Schritt 3 - Aufgabe 39 -3) erwartete Häfigkeiten?
Schritt 4 - Aufgabe 39 -4) Welchen Wert erhalten Sie für χ²?
Schritt 5 - Aufgabe 39 -5) Testbedingungen ?
Schritt 6 - Aufgabe 39 -6) Freiheitsgrade und χ²o?
Schritt 7 - Aufgabe 39 -7) Ergebnis des χ²-Tests
Schritt 8 - Aufgabe 39 -8) Zusammenhang?
- Aufgabe 40)
Eine Untersuchung des Zusammenhangs zwischen der Betriebsgröße (klassiert in 6 Klassen) und dem in den Betrieben erzielten Einkommen (klassiert in 9 Klassen) hat einen χ²-Wert von 61,57 erbracht. Testen Sie die Hypothese, dass es keinen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen gibt mit einem 1 %-igen Signifikanzniveau. Die Voraussetzung für den Unabhängigkeitstest fe ≥ 5 sei erfüllt
Schritt 1 - Aufgabe 40 - 1) Freiheitsgrade und χ²o?
Schritt 2 - Aufgabe 40 -2) Ergebnis des χ²-Tests
Schritt 3 - Aufgabe 40 - 3) Zusammenhang?
- Aufgabe 41)
Berechnen Sie aus den Daten der Tab. IV-7 Chi- Quadrat als Maß für den Zusammenhang von Verbandsvertretung und Fraktionszugehörigkeit.
Kann aufgrund dieses Ergebnisses mit einem Signifikanzniveau von 1% behauptet werden, die Variablen seien voneinander unabhängig?
Schritt 1 - Aufgabe 41-1) erwartete Häufigkeiten?
Schritt 2 - Aufgabe 41- 2) Welchen Wert erhalten Sie für χ²?
Schritt 3 - Aufgabe 41 - 3) Testbedingungen ?
Schritt 4 - Aufgabe 41 -4) Freiheitsgrade?
Schritt 5 - Aufgabe 41 -5) χ²o?
Schritt 6 - Aufgabe 41 - 6) Ergebnis des χ²-Tests
Schritt 7 - Aufgabe 41 - 7) Zusammenhang?
- Aufgabe 42)
Ein Wintersportort in Österreich wirbt in seinem Prospekt damit, dass in den Wintermonaten November, Dezember, Januar und Februar die Schneehöhe immer gleich ist. Herr Meyer hat für die Monate die in Tab. IV-13 wiedergegebenen Durchschnittshöhen ermittelt.
Kann Herr Meyer mit diesen Daten die Angabe aus dem Prospekt widerlegen und behaupten, dass die Schneehöhe nicht gleichverteilt ist? (Signifikanzniveau 10%)
Schritt 1 - Aufgabe 42 - 1) Welche Hypothese wird getestet?
Schritt 2 - Aufgabe 42 -2) Welche χ² - Hypothese ist angemessen?
Schritt 3 - Aufgabe 42 -3) erwartete Häufigkeiten?
Schritt 4 - Aufgabe 42 -4) Welchen Wert erhalten Sie für χ²?
Schritt 5 - Aufgabe 42 - 5) Testbedingungen ?
Schritt 6 - Aufgabe 42 -6) Freiheitsgrade und χ²o?
Schritt 7 - Aufgabe 42 - 7) Ergebnis des χ²-Tests
Schritt 8 - Aufgabe 42 - 8) Gleichverteilung?
- Aufgabe 43 a) Der Soziologe Max Weber untersuchte die Verteilung der Arbeitsunfälle männlicher Arbeiter in Kopenhagen 1898-1907 nach Wochentagen (vgl. Tab. IV-14). Die hohe Frequenzen am Samstag und Montag hält Weber für eine Folge des Alkohols (Freitag ist Lohntag) bzw. für eine Folge größerer gesundheitlicher Strapazen am Wochenende.
Testen Sie die Hypothese, dass diese Ungleichverteilung überzufällig sei, auf einem Signifikanzniveau von 1%.
Schritt 1 - Aufgabe 43 a- 1) Welche Hypothese liegt zugrunde?
Schritt 2 - Aufgabe 43 a -2) Welche χ² - Hypothese ist angemessen?
Schritt 3 - Aufgabe 43 a -3) erwartete Häufigkeiten?
Schritt 4 - Aufgabe 43 a -4) Welchen Wert erhalten Sie für χ²?
Schritt 5 - Aufgabe 43 a - 5) Testbedingungen ?
Schritt 6 - Aufgabe 43 a -6) Freiheitsgrade und χ²o?
Schritt 7 - Aufgabe 43 a - 7) Ergebnis des χ²-Tests
Schritt 8 - Aufgabe 43 a - 8) Gleichverteilung?
- Aufgabe 43 b)
Der Soziologe Max Weber untersuchte die Verteilung der Arbeitsunfälle männlicher Arbeiter in Kopenhagen 1898-1907 nach Wochentagen. Die hohe Frequenzen am Samstag und Montag hält Weber für eine Folge des Alkohols (Freitag ist Lohntag) bzw. für eine Folge größerer gesundheitlicher Strapazen am Wochenende.
Angenommen, die Stichprobe wäre 10-mal so groß gewesen wie in Tab. IV-14 und die Verteilung sähe aus wie in Tab. IV-15.
Testen Sie die Hypothese, dass nun diese Ungleichverteilung überzufällig sei, auf einem Signifikanzniveau von 1%.
Schritt 1 - Aufgabe 43 b -1) erwartete Häufigkeiten?
Schritt 2 - Aufgabe 43 b -2) Welchen Wert erhalten Sie für χ²?
Schritt 3 - Aufgabe 43 b - 3) Ergebnis des χ²-Tests
Schritt 4 - Aufgabe 43 b- 4) Gleichverteilung?
- Aufgabe 44
Ein Student möchte eine spezielle Klausurvorbereitung für seine Mitstudierenden anbieten. Welchen Stundenlohn kann er verlangen, wenn aus einer Befragung von 55 potentiellen Interessenten ein mittlerer Wert von 13,45 EUR resultiert. σ – das sei bekannt – liegt bei 1,25 EUR.
In welchem Intervall könnte der realistische Stundenlohn liegen, wenn das Konfidenzintervall mit 90% angegeben ist?
Schritt 1 - Aufgabe 44 1) Formel auswählen
Schritt 2 - Aufgabe 44 2) Wert der Zufallsvariablen?
Schritt 3 - Aufgabe 44-3) Werte einsetzen
- Aufgabe 45
Die Geschäftsleitung einer Drogeriekette prüft, ob sie in einem Stadtteil (10.000 potentielle Kundlnnen) eine Filiale eröffnen sollte. Zur Ermittlung des für Konsumausgaben verfügbaren Durchschnittseinkommens führt sie eine ad-hoc- Umfrage unter 10 Kunden durch. Diese ergab ein Durchschnittseinkommen von 1600 EUR und eine Standardabweichung ŝ von 250 EUR. In welchem Bereich ist der Parameter der Grundgesamtheit zu vermuten?
a) Führen Sie auf Basis der obigen Stichprobe eine Punktschätzung für μ durch!
b)Bestimmen Sie mit Hilfe derselben Stichprobe Konfidenzintervalle für μ bei einem Konfidenzniveau von 95 bzw. 99 %!
Schritt 1 - Aufgabe 45 1) Wert der Punktschätzung?
Schritt 2 - Aufgabe 45 2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 45 -3) Freiheitsgrade und EF?
Schritt 4 - Aufgabe 45 -4) t- bzw. Z-Wertw
Schritt 5 - Aufgabe 45-5) Werte einsetzen
Schritt 6 - Aufgabe 45 -6) Werte einsetzen
- Aufgabe 46
Die Kette hat im angeführten Beispiel zur endgültigen Klärung die Befragung mit einem Stichprobenumfang von n = 550 wiederholt und als Ergebnis ein X̄ = 1550 EUR und ein ŝ = 220 EUR erhalten. Führen Sie nun die Schätzung auf Basis der großen Stichprobe und einem Konfidenzniveau von 95 % durch!
Schritt 1 - Aufgabe 46 1) Formel auswählen
Schritt 2 - Aufgabe 46 -2) t- bzw. Z-Wertw
Schritt 3 - Aufgabe 46 -3) Freiheitsgrade und EF?
Schritt 4 - Aufgabe 46-4) Werte einsetzen
- Aufgabe 47
Die Marketingabteilung einer Supermarktkette möchte für die Dimensionierung des Marktes wissen, wie viel Geld die Haushalte eines Stadtteils durchschnittlich für Lebensmittel ausgeben.
a) Eine Stichprobe vom Umfang n = 25 erbrachte ein X̄ = 250 EUR und ein ŝ = 50 EUR. Innerhalb welcher Grenzen ist mit einem Konfidenzniveau von 95% der Parameter μ der Grundgesamtheit zu finden?
b) Bei einer größeren Stichprobe von n = 100 ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei a). Welcher Konfidenzbereich gilt jetzt?
Schritt 1 - Aufgabe 47 1) Formel auswählen
Schritt 2 - Aufgabe 47 -2) t- bzw. Z-Wert und FG
Schritt 3 - Aufgabe 47-3) Werte einsetzen
Schritt 4 - Aufgabe 47 4) Formel auswählen
Schritt 5 - Aufgabe 47 -5) t- bzw. Z-Wert und FG
Schritt 6 - Aufgabe 47 - 6) Werte einsetzen
- Aufgabe 48
Ein Autokonzern plant den Bau eines Mittelklassewagens mit Hybridantrieb. Es soll überprüft werden, wie groß der Anteil interessierter Kunden ist. Mit dieser Frage wird ein Meinungsforschungsinstitut beauftragt, welches eine StPr im Umfang von n = 1200 zieht. Es ergibt sich ein Wert von 13% interessierten Kunden. In welchem Intervall liegt der Anteil in der GG, wenn das Konfidenzniveau mit 95% angegeben ist?
Schritt 1 - Aufgabe 48 - 1) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 2 - Aufgabe 48 - 2) Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 48 - 3 Z-Werte
Schritt 4 - Aufgabe 48 - 4 Werte einsetzen
- Aufgabe 49)
In einer Stichprobe mit n = 2000 erhielt eine Partei einen Anteil von p = 0,04 Stimmen. Führen Sie mit einer 90%-igen Konfidenz eine Schätzung des aktuellen Stimmenanteils von A durch.
Schritt 1 - Aufgabe 49 - 1) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 2 - Aufgabe 49 - 2) Endlichkeitsfaktor
Schritt 3 - Aufgabe 49 - 3 Z-Werte
Schritt 4 - Aufgabe 49 - 4 Werte einsetzen
- Aufgabe 50
Auf Grundlage einer ad-hoc- Umfrage unter 10 Kunden wurde für die Streuung des Einkommens eine Standardabweichung ŝ von 250 EUR ermittelt. In welchem Bereich ist der Parameter σ der Grundgesamtheit zu vermuten? Führen Sie unter der Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit eine Schätzung mit einem Konfidenzniveau von 95 % durch.
Schritt 1 - Aufgabe 50 - 1) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 2 - Aufgabe 50 - 2) Freiheitsgrade?
Schritt 3 - Aufgabe 50 - 3) χ²- Werte ?
Schritt 4 - Aufgabe 50 - 4 Werte einsetzen
- Aufgabe 51)
Die Kette hat zur endgültigen Klärung des Konfidenzintervalls für σ die Befragung mit einem Stichprobenumfang von n = 550 wiederholt und als Ergebnis ein ŝ = 220 EUR erhalten. Führen Sie nun die Schätzung auf Basis der großen Stichprobe und einem Konfidenzniveau von 95 % durch!
Schritt 1 - Aufgabe 51 - 1) Prüfung der Approximationsbedingung
Schritt 2 - Aufgabe 51 - 2) Freiheitsgrade?
Schritt 3 - Aufgabe 51 - 3) Z- Werte ?
Schritt 4 - Aufgabe 51 - 4) Werte einsetzen
Schritt 5 - Aufgabe 51 - 5) σ -Werte ?
- Aufgabe 52)
Die Partei A möchte wissen, wie es um ihre Glaubwürdigkeit in Fragen der inneren Sicherheit auf einer Skala von 0 - 10 bestellt ist. Wie groß muss die St Pr mindestens sein, wenn das Ergebnis mit einer Genauigkeit von 0,2 Punkten und einem Konfidenzniveau von 0,95 bestimmt werden soll. In einer früheren St Pr zum Thema streuten die Ergebnisse mit ŝ = 1,2 Punkten.
Schritt 1 - Aufgabe 52 -1) Schätzfehler
Schritt 2 - Aufgabe 52 2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 52 - 3) Z- Werte ?
Schritt 4 - Aufgabe 52 - 4 Werte einsetzen
Schritt 5 - Aufgabe 52 - 5) StPr-Umfang?
- Aufgabe 53)
Eine Schätzung des Anteilswertes von Haushalten im ländlichen Raum, die noch über keinen Netzzugang verfügen, erbrachte mit einem SN von 1 - α = 0,99 und n = 100 eine Spanne von etwa 25 %. Wie groß müsste die StPr sein, wenn der Anteil mit gleichem Konfidenzniveau auf 5 % genau ermittelt werden soll?
Schritt 1 - Aufgabe 53 -1) Schätzfehler
Schritt 2 - Aufgabe 53 2) Formel auswählen
Schritt 3 - Aufgabe 53 - 3) Z- Werte ?
Schritt 4 - Aufgabe 53 - 4 Werte einsetzen
Schritt 5 - Aufgabe 53 - 5) StPr-Umfang?
- Neue Aufgabe
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