1. Beispiele und Aufgaben zum Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

a) Beispiel zum Unabhängigkeitstest

• Die Ausgangsdaten

  Im Modul Konzepte und Definitionen hatten wir die Wirkung des Geschlechts auf die Erwerbstätigkeit thematisiert (vgl. Tab. IV-3).
  

  Tab. IV-3: Kontingenztabelle
  
  
  
  Zu klären ist, ob diese Daten auf einen gesicherten Zusammenhang zwischen Geschlecht und Erwerbstätigkeit in der Grundgesamtheit schliessen lassen.
  

• Ermittlung der bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten f_e

  Eine Gegenüberstellung des Erwerbsverhalten der Geschlechter, wie es bei Unabhängigkeit der Merkmale zu erwarten wäre, liefert die Indifferenztabelle (zur Berechnung der f_e vgl. das vorherige Modul).

  Tab. IV-4: Indifferenztabelle
  
  
  

• Berechnung des χ²-Wertes

  Aus dem Vergleich der empirischen Werte f_b der Kontingenztabelle mit den Werten der Indifferenztabelle f_e ergibt sich folgende Berechnung des χ²-Wertes:

  Tab. IV-5: Formel und Berechnung des χ²-Wertes
  
  
  

• Prüfung der Voraussetzungen

  Da f_e ≥ 5, trifft die Annahme zu, dass der berechnete Wert χ²-verteilt ist. Damit sind die Voraussetzungen für den Test gegeben.

• Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade

  Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt φ = (z - 1)(s - 1) = 3.

• Testvorgaben

  Wir testen die Nullhypothese H₀: χ² = 0 mit einem 10%-igen Signifikanzniveau, d.h.mit α₀ = 0,1.

• Ermittlung des χ²_0,1-Werts

  Aus der Tabelle 2 der Tabellenübersicht erhalten wir für χ²_0,1 den Wert von 6,251.

• Ergebnis des Tests

  Der empirische Wert von 26,68 liegt deutlich über dem Grenzwert χ²_α0 von 6,251.
  Weil also χ² > χ²_α0, kann die Hypothese der Unabhängigkeit des Erwerbsniveaus vom Geschlecht eindeutig zurückgewiesen werden.
  

• Graphische Darstellung des Test-Ergebnisses>

  Das Testergebnis wird durch die Abb.IV-19 (aus dem vorherigen Modul) bestätigt:

  Abb. IV-19: Annahme- und Ablehnungsbereich
  
  

• Erhöhung des Signifikanzniveaus

  Wenn man das Signifikanzniveau auf 5 % erhöht, verschiebt sich die Grenze des Annahmebereichs nach rechts auf χ²_0,05 = 7,815. Aber auch hier gilt: χ² > χ²_α0. So dass auch bei höherer Signifikanz auf einen Zusammenhang in der Grundgesamtheit zu schliessen ist. Diese Aussage bleibt selbst bei einem Signifikanzniveau von 1 % bei χ²_0,01 = 11,345 gültig.

Mit diesem Skript können Sie die obigen Berechnungen für den Unabhängigkeitstest nachvollziehen oder die nachfolgenden Aufgaben berechnen. Aus der Tabelle 2 der Tabellenübersicht lassen sich die χ²_α0-Werte ermitteln.

Mit dem folgenden externen Tool können Sie die Grenze des Annahmebereichs für beliebige Chi-Quadratverteilungen mit selbst gewähltem Signifikanzniveau berechnen und graphisch darstellen lassen.

b) Aufgaben zum Unabhängigkeitstest

Aufgabe 39)

Anlässlich der Fußballeuropameisterschaft möchte die Illustrierte "Neue Zeit" prüfen, ob Fußball immer noch ein reiner "Männersport" ist. Die Leserinnen und Leser sind aufgefordert in der Redaktion anzurufen und anzugeben, ob ihr Interesse "sehr groß/groß", "mittelmäßig" oder "klein/ nicht vorhanden" ist. Nach drei Stunden hat die Praktikantin Frau Meyer 107 Anrufen entgegengenommen und erstellt folgende Tabelle:

Tab. IV-6: Interesse am Fußball nach Geschlecht

Interesse	Frauen	Männer
sehr groß/groß	18	25
mittelmäßig	20	19
klein/ nicht vorhanden	15	20

Ist das Interesse an Fußball abhängig vom Geschlecht? Testen Sie die relevante Hypothese mit einem 10%-igem Signifikanzniveau.

Bevor Sie beginnen, die Aufgabe zu lösen, nehmen Sie bitte die Resultate der Befragung in Augenschein und überlegen: Lassen die Daten eher eine Abhängigkeit des Interesses vom Geschlecht erkennen oder nicht?
Nun können Sie obige Aufgabe hier in 8 Schritten lösen und prüfen, ob Ihre Vermutung bezüglich des Zusammenhangs einer statistischen Prüfung Stand hält! Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

Aufgabe 40)

Eine Untersuchung des Zusammenhangs zwischen der Betriebsgröße (klassiert in 6 Klassen) und dem in den Betrieben erzielten Einkommen (klassiert in 9 Klassen) hat einen χ²-Wert von 61,57 erbracht. Testen Sie die Hypothese, dass es keinen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen gibt mit einem 1 %-igen Signifikanzniveau. Die Voraussetzung für den Unabhängigkeitstest f_e ≥ 5 sei erfüllt.
Nun können Sie diese Aufgabe hier in drei Schritten bearbeiten. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

Aufgabe 41)

Folgende Verbandsvertreter sind in den Deutschen Bundestag, 10. Wahlperiode, gewählt worden:

Tab. IV-7: Verbandsvertreter im Bundestag nach Verband und Parteizugehörigkeit

Partei	Arbeitnehmer- organisation	Industrie- und Arbeitgeber- organisation	Mittelständische Verbände
CDU/CSU	19	15	44
SPD	43	0	1

Quelle:Bundeszentrale für politische Bildung: Informationen zur politischen Bildung, 4/87, S.16, Auszug

1. Berechnen Sie als Maß für den Zusammenhang von Verbandsvertretung und Fraktionszugehörigkeit Chi- Quadrat.
2. Kann aufgrund dieses Ergebnisses mit einem Signifikanzniveau von 1% behauptet werden, die Variablen seien voneinander unabhängig?

Diese Aufgabekönnen Sie hier in sieben Schritten bearbeiten. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

2. Beispiele und Aufgaben zum Chi-Quadrat-Anpassungstest

a) Beispiele zum Anpassungstest

Beispiel 1:

• Die Ausgangsdaten
  

  Ein 90-faches Würfeln hat zu folgenden dargestellten absoluten Häufigkeiten geführt:

  Tab. IV-8: Häufigkeit der Augenzahl beim Würfelwurf
  
  

  Augenzahl	empirische Häufigkeit
  1	19
  2	13
  3	14
  4	12
  5	17
  6	15
  Summe	90

  Prüfen Sie (bei einem Signifikanzniveau von 5%), ob dieser Würfel als ideal angesehen werden kann (d.h., dass das Ergebnis gleichverteilt ist).

• Ermittlung der bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten f_e

  Die theoretische Verteilung ist also die Gleichverteilung. Jede Augenzahl muss die gleiche Wahrscheinlichkeit des Auftretens haben. Damit ist f_e = n ·p_i = 90· 1/6 = 15.

• Berechnung des χ²-Wertes

  Tab. IV-9: Vergleich der empirischen mit den theoretischen Häufigkeiten
  
  

  Augenzahl	empirische Häufigkeit fb	erwartete Häufigkeit fe	fb - fe
  1	19	15	4	1,07
  2	13	15	-2	0,27
  3	14	15	-1	0,07
  4	12	15	-3	0,6
  5	17	15	2	0,27
  6	15	15	0	0
  Summe	90	90		2,2

  Der berechnete χ²-Wert beträgt 2,2.

• Prüfung der Voraussetzungen

  Da f_e ≥ 5, trifft die Annahme zu, dass der berechnete Wert χ²-verteilt ist. Damit sind die Voraussetzungen für den Test gegeben.

• Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade

  Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt φ = k - 1 = 5.

• Testvorgaben

  Wir testen die Nullhypothese H₀: χ² = 0 mit einem 5%-igen Signifikanzniveau, d.h.mit α₀ = 0,05.

• Ermittlung des χ²_0,05-Werts

  Aus der Tabelle 2 Tabellenübersicht erhalten wir für χ²_0,05 den Wert von 11,07.

• Ergebnis des Tests

  Der empirische Wert von 2,2 liegt deutlich unter dem Grenzwert χ²_α0 von 11,07.
  Weil also χ² < χ²_α0, kann die Hypothese der Gleichverteilung angenommen werden.
  

• Graphische Darstellung des Tests

  Ein Rechner zur Erzeugung einer Graphik zu diesem Test findet sich wiederunter diesem externen Link

Beispiel 2:

• Die Ausgangsdaten
  

  Eine Erhebung unter 200 Studenten hat folgende Verteilung der Mietausgaben ergeben:

  Tabelle IV-10: Verteilung der Mietausgaben oldenburger Studenten in EUR (fiktive Daten)
  
  
  

  Überprüfen Sie mit einem Signifikanzniveau von 0,05 die Hypothese, dass die Mietausgaben in der Grundgesamtheit normalverteilt sind.

• Ermittlung der Parameter der Normalverteilung
  

  Die empirische Verteilung weist einen Mittelwert von 175 EUR und eine Standardabweichung von 35 EUR auf.

• Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für P(X ≥ X_i) - P(X > X_i + c_i)
  
  

• Gegenüberstellung der empirischen und normalverteilten Mietausgaben

  Tabelle IV-11: empirische und normalverteilte Mietausgaben in %
  
  
  

  Graphischer Vergleich der Verteilungen

  Abb. IV-20: empirische und normalverteilte Mietausgaben
  
  

• Gegenüberstellung der f_b und f_e und Berechnung von χ²

  Tabelle IV-12: empirische und normalverteilte Häufigkeiten und Berechnung von χ²
  
  
  

• Prüfung der Voraussetzungen

  Da f_e ≥ 5, trifft die Annahme zu, dass der berechnete Wert χ²-verteilt ist. Damit sind die Voraussetzungen für den Test gegeben.

• Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade

  Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt φ = k - 1 = 6.

• Testvorgaben

  Wir testen die Nullhypothese H₀: χ² = 0 mit einem 5%-igen Signifikanzniveau, d.h.mit α₀ = 0,05.

• Ermittlung des χ²_0,05-Werts

  Aus der Tabellenübersicht erhalten wir für χ²_0,05 den Wert von 12,592.

• Ergebnis des Tests

  Der empirische Wert von 13,02 liegt über dem Grenzwert χ²_α0 von 12,59.
  Weil also χ² > χ²_α0, muss die Hypothese der Gleichverteilung abgelehnt werden.
  

• Modifikation der Testvorgaben

  Bei α₀ = 0,01 und φ = 6 ergibt sich für χ²_0,01 ein Wert von 16,812. Die Hypothese kann also bei einem Signifikanzniveau von 0,01 angenommen werden.
  
  Die Festlegung des Signifikanzniveaus sollte nicht davon abhängen, ob eine Annahme oder eine Ablehnung der Hypothese erwünscht ist. Da mit einer Erhöhung des Signifikanzniveaus von 0,05 auf 0,01 der Annahmebereich ausgeweitet wird, reduziert sich zwar der α-Fehler, d.h. das Risiko eine richtige Hypothese abzulehnen, gleichzeitig steigt aber der β-Fehler, d.h.das Risiko eine falsche Hypothese anzunehmen. Aus dem Untersuchungskontext heraus wäre also abzuschätzen, welcher Fehler am problematischsten ist. Dieser sollte dann durch ein entsprechendes α₀ minimiert werden.

Mit diesem Skript können Sie Berechnungen für den Anpassungstest (auf Gleichverteilung) ausführen und z.B. die obigen Aufgaben nachrechnen bzw. die folgenden bearbeiten. Aus der Tabelle 2 der Tabellenübersicht lassen sich die χ²_α0-Werte ermitteln.

Mit dem folgenden externen Tool können Sie die Grenze des Annahmebereichs für beliebige Chi-Quadratverteilungen mit selbst gewähltem Signifikanzniveau berechnen und graphisch darstellen lassen.

b) Aufgaben zum Anpassungstest

Aufgabe 42)

Der Wintersportort "Zell am See" in Österreich wirbt in seinem Prospekt, dass in den Wintermonaten November, Dezember, Januar und Februar die Schneehöhe immer gleich ist. Herr Meyer besucht den Ort schon seit vielen Jahren und hat sehr unterschiedliche Schneehöhen vorgefunden. In einigen Jahren reichte der Schnee in den Wintermonaten nicht zum Ski fahren. Auf Grund seiner Liebe zu diesem Ort hat er sich in diesem Jahr ein kleines Haus in "Zell am See" gekauft und jeden Tag die Schneehöhe gemessen und für jeden Monat eine Durchschnittshöhe ermittelt. So liegen ihm nun folgende Daten vor:

Tab. IV-13: Schneehöhen (fiktives Beispiel)

Monat	November	Dezember	Januar	Februar
Schneehöhe in cm	66	59	71	68

Kann Herr Meyer mit diesen Daten die Angabe aus dem Prospekt widerlegen und behaupten, dass die Schneehöhe nicht gleichverteilt ist? (Signifikanzniveau 10%)

Diese Aufgabe können Sie hier in 8 Schritten bearbeiten. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

Aufgabe 43)

Der Soziologe Max Weber stellt in dem Aufsatz "Zur Psychophysik der industriellen Arbeit" folgende Verteilung der Arbeitsunfälle männlicher Arbeiter in Kopenhagen 1898-1907 vor:

Tab. IV-14: Arbeitsunfälle nach Wochentagen

Wochentag	Montag	Dienstag	Mittwoch	Donnerstag	Freitag	Samstag
Anz. der Unfälle	50	46	34	34	33	43

Die hohe Frequenzen am Samstag und Montag hält Weber für eine Folge des Alkohols (Freitag ist Lohntag) bzw. für eine Folge größerer gesundheitlicher Strapazen am Wochenende.

a) Im Gegensatz zu Weber glauben Sie, dass die Unfälle gleichmäßig über die Wochentage verteilt sind und die Abweichungen von den erwarteten Häufigkeiten nur Zufallsschwankungen sind. Testen Sie Ihre Hypothese auf einem Signifikanzniveau von 1%. Wer hat recht? Max Weber oder Sie?

Diese Aufgabe können Sie hier in 8 Schritten bearbeiten. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

b) Angenommen, die Stichprobe wäre 10-mal so groß gewesen wie oben und die Verteilung sähe wie folgt aus:

Tab. IV-15: Arbeitsunfälle nach Wochentagen (fiktive Vergrößerung der Stichprobe)

Wochentag	Montag	Dienstag	Mittwoch	Donnerstag	Freitag	Samstag
Anz. der Unfälle	500	460	340	340	330	430

Testen Sie wie unter a).

c) Vergleichen Sie die unter a) und b) gefundenen Ergebnisse miteinander und kommentieren Sie diese.

Diese Aufgabe können Sie hier in 4 Schritten bearbeiten. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

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