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ViLeS 2 > Kap. II Theoretische Verteilungen > II-3 Die Chi-Quadrat-Verteilung > Konzepte und Definitionen

Konzepte und Definitionen im Modul II-3 Die Chi-Quadrat-Verteilung

1. Vorbemerkungen

  • Die-Verteilung dient in der induktiven Statistik als Basis der Verteilung von Stichprobenvarianzen und -standardabweichungen und ist somit Grundlage der statistischen Schlüsse auf die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit.

  • Darüber hinaus erlaubt die-Verteilung eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beurteilung der deskriptiven Kontingenzmaße.

  • Die-Verteilung ist für n > 30 durch die Normalverteilung approximierbar.

2. Die Chi-Quadrat-Funktion und ihre Eigenschaften

a) Die Dichtefunktion

  • Die-Variable ergibt sich als Summe von n quadrierten, standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Es gilt also:

    mit bei .

  • Die Dichtefunktionenwird hier in ihrer Funktionsform nicht wiedergegeben1.

b) Die Parameter und Maßzahlen der Dichtefunktion

  • Der einzige Parameter der Dichtefunktion ist die Anzahl der Freiheitsgrade, d.h. die Anzahl derunabhängigen Summanden, mit. Als einziger Parameter bestimmtauch die für die Verteilung relevanten Maßzahlen:

  • Der Erwartungswert der-Verteilung ist mit der Zahl der Freiheitsgrade identisch:

  • Die Varianz derVerteilung entspricht dem 2-fachen der Anzahl der Freiheitsgrade:

  • Charakteristisch für das Erscheinungsbild der-Verteilung ist der Modus derVerteilung (vgl. dazu z.B. die Abb. II-11 und 12). Er ist gegeben für:

    für.

c) Die graphische Darstellung der Dichtefunktion

  • Die Graphen der Dichtefunktionensind fürunimodal und werden mit steigenden Freiheitsgraden zunehmend symmetrisch.

  • Abbildung II-11: χ 2-Verteilung für φ = 1, 3 u. 15


    d) Die tabellierte Verteilungsfunktion

    • Wie für die Normalverteilung liegen die Wahrscheinlichkeiten der-Verteilung für Werte der Verteilungsfunktion vonin tabellierter Form vor. Diese werden auszugsweise für = 1...15 in Tab. II-5 widergegeben. Dabei sind die Freiheitsgrade in der Vorspalte der Tabelle zu finden, die kritischen Werte fürim inneren der Tabelle und die korrespondierenden Wahrscheinlichkeiten in den Spaltenüberschriften.

    • Tabelle II-5: Tabellierte -Werte fürund




    • Eine ausführliche Tabelle für φ ≤ 40 findet sich hier.

    • Ein Rechner zur Berechnungg von Wahrscheinlichkeiten für beliebige Freiheitsgrade findet sich ausserdem unter diesem externen Link.


    d) Die Approximation durch die Normalverteilung

    Abkann die-Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Wie die Abbildung II-12 zeigt, lässt die Symmetrie allerdings noch zu wünschen übrig.

    Abbildung II-12:-Verteilung für


    • Aus diesem Grunde ist eine indirekte Approximation an die Normalverteilung über vorzuziehen ist.

    • ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
      und einer Varianz von Eins.

    • Daraus resultiert folgende Standard-Normalvariable:

      1Zur Funktion und zu weiteren Einzelheiten vgl. Litz 2003 S.284 ff


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