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Beispiele und Aufgaben im Modul Normalverteilung

Beispiel und Aufgabe zum Vergleich einer empirischen mit der Normalverteilung

Eine Befragung von Hundert Studenten über die Höhe der Mietausgaben hat die empirische Verteilung ergeben, die in untenstehender Tabelle wiedergegeben ist.
Vergleichen Sie die empirische Verteilung mit einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 175 EUR und einer Standardabweichung von 35 EUR.
Anmerkung: Diese Aufgabe entspricht dem ersten Teil der Aufgabe 21 des Lehrbuchs. Eine graphische Darstellung der Lösung und der Lösungsweg finden sich in den Musterlösungen (vgl. Link am Ende des Kapitels).

Geben Sie die Werte der theoretischen Verteilung bitte in der Form x,xx ein, also in Prozent und auf zwei Nachkommastellen gerundet!

Mietausgaben von ... bis unter ... DM Befragte in % Befragte in % (bei Normalverteilung)
unter 130 8,5
130-150 14,5
150-170 20,0
170-190 22,5
190-210 14,5
210-230 8,5
über 230 11,5
Summe 100  

Aufgabe 21 (Fortsetzung)

  1. Skizzieren Sie beide Verteilungen!
    Wie groß wäre unter der Annahme einer Normalverteilung mitund demnach die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine(n) Studierende(n) anzutreffen mit einer Miete bis unter 130 €, von 130 € bis unter 150€ usw.
    Formulieren Sie mindestens in einem Fall genau die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten der Besetzung einer Klasse.

  2. Welche Miete zahlen unter obiger Verteilungsannahme die 5% bzw. die 1% am teuersten oder am billigsten wohnenden Studierenden?


Beispiel zur Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung

Im Jahre 2010 hatten etwa 70% der deutschen Haushalte einen Internetzugang. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe von n = 100 zwischen 60 und 80 Haushalte mit einem Internetzugang zu finden?
Gefragt ist damit nach der Wahrscheinlichkeit einer diskreten Variablen k: P (60 ≤ k ≤ 80) ?

  1. Wir prüfen zuerst, ob die diskrete Binomial-Verteilung der Variablen hinreichend durch eine Normalverteilung approximiert werden kann. Die Approximationsbedingung lautet:
    n · p(1-p) ≥ 9, konkret: 100 · 0.7(1-0.7)= 21 ≥ 9. Damit ist die Bedingung erfüllt.

  2. Nun definieren wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit für eine Normalverteilung. Unter Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur ergibt sich diese Wahrscheinlichkeit als:
    P(60 - 0.5 ≤ x ≤ 80 + 0.5).

  3. Wir bestimmen danach die Parameter der Normalverteilung: x hat einen Erwartungswert von 70:
    E(X) = n · p = 100 · 0.7 = 70
    und eine Varianz von 21:
    VAR(X) = n · p(1-p) = 100 · 0.7(1- 0.7) = 21.

  4. Als Wahrscheinlichkeit für die standard-normalverteilte Variable z ergibt sich demnach:

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 100 Haushalten zwischen 60 und 80 Haushalte mit einem Internetzugang angetroffen werden, fast 98%.

Mit diesem externen Applet der Rice University können Sie die Approximationsgüte graphisch und rechnerisch für unterschiedliche Bedingungen veranschaulichen.


Aufgabe zur Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung

Eine Partei hat bei der nächsten Wahl 5% aller Stimmen zu erwarten. Wie gross ist

  1. die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 1000 Personen genau 50 angeben, diese Partei zu wählen?
    Diese Aufgabe können Sie in 5 Schritten mit diesem interaktiven Tool bearbeiten.


  2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 1000 Personen 50 Personen oder weniger angeben diese Partei zu wählen?
    Diese Aufgabe können Sie in 3 Schritten mit diesem interaktiven Tool bearbeiten.

    Mit dem bekannten externen Applet der Rice University können Sie die beiden Aufgaben visualisieren und die Ergebnisse mit einem genaueren Rechner überprüfen.

Zur Musterlösung der Aufgaben (19) bis (21).


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letzte Änderung am 14.1.2014 um 6:53 Uhr.

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p3

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