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ViLeS 1 > XI Zusammenhangsmaße für metrischskalierte Daten (Regression und Korrelation) > XI-1 Das einfache lineare Regressionsmodell > Beispiele und Aufgaben

Beispiele und Aufgaben im Modul XI-1 Das einfache lineare Regressionsmodell

1. Beispiele

a) Der Zusammenhang zwischen Wohnfläche und Miete

  • Die Ausgangsdaten

    • Als Beispiel betrachten wir eine Erhebung zum Wohnungsmarkt über Wohnungsgröße und Mietpreise. Unter kausalen Aspekten liegt es nahe, dass sowohl die geforderten wie die gezahlten Mieten von der Wohnfläche abhängen und nicht umgekehrt.

    • Dabei ist eine mittlerer, positiver (gleichgerichteter) Zusammenhang zwischen den Variablen zu vermuten. D.h. mit einer gewissen Regelmäßigkeit sind bei kleineren Wohnungen niedrigere Mieten und bei größeren Wohnungen höhere Mieten zu erwarten.

    • Bei einer umfassenden Analyse des Wohnungsmarktes wären allerdings weitere Determinanten der Miethöhe (Zustand und Lage der Wohnung, Schnitt der Zimmer, Alter des Hauses, örtliches Mietniveau usw.) zu beachten. Diese bleiben bei der einfachen (zweidimensionalen) Regressionsanalyse unberücksichtigt und erhöhen den Fehlerterm über einen rein zufälligen Kern hinaus.

  • Das Streuungsdiagramm

    Die erhobenen Daten zum Zusammenhang zwischen der Wohnungsfläche und den Mietausgaben werden in Abb. 11-8 graphisch dargestellt.

    Abbildung 11-8: Streuungsdiagramm Mieten und Wohnflächen

  • Die empirische Regressionsfunktion

    Die Parameter der Regressionsgerade wurden rechnerisch mit dem Datenanalyseprogramm SPSS ermittelt. Das Ergebnis lautet:

    .

  • Die Interpretation der Ergebnisse

    • a und b sind darin Funktionsparameter, deren Werte auch empirisch interpretiert werden können.

    • So gibt in unserem Beispiel a an, wieviel Miete bei einer qm-Fläche von „0“ zu zahlen wäre.
      Auf den ersten Blick vermittelt dieses statistische Ergebnis eine unsinnige Aussage; auf den zweiten könnte man den Betrag von Seiten des Mieters als „Eintrittgeld auf dem Wohnungsmarkt“, von Seiten des Vermieters als Fixkostenanteil interpretieren.

    • b drückt aus, um welchen EUR -Betrag sich die Miete erhöhen würde, wenn - ausschließlich von der Wohnungsfläche bestimmt – diese um einen qm zu nähme.

    • Die Werte besagen, dass es bei der Miete einen Wohnflächen unabhängigen Grundbetrag von etwa 85 EUR gibt und dass drüber hinaus für je 1 qm Wohnfläche ein Mietbetrag von 4,24 EUR aufzubringen ist.

    • Die Funktion wurde bereits in die Punktwolke eingetragen. Sie verläuft durch den Achsenabschnitt a und den Mittelpunkt der Punktwolke.

b) Interaktive Tools zur graphischen Veranschaulichung einer Regressionsanalyse

Die folgenden Applets (Autoren: Rice Virtual Lab bzw. Nick Exner, University of Illinois) erlaubt es, eine Punktwolke zu erzeugen und errechnet dazu die Regressionsfunktion.

Applet des Rice Virtual Lab und

Applet von Nick Exner.


Die Präsentation ermöglicht es Ihnen, per Mausklick in das Koordinatensystem beliebige Punkte einzutragen. Dabei wird die Regressionsgerade automatisch angepasst.

2. Aufgaben

a) Die Berechnung mittels Arbeitstabelle

  • Zur Berechnung per Hand (etwa in einer Klausur) bietet sich eine Arbeitstabelle an, deren vier erste Spalten die Werte für die nachstehende Formel ergeben.

    Tabelle 11-2: Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionsfunktion

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  • Die Ergebnisse der Spaltensummen sind dann in die Formeln für b und a einzutragen:

    und.

b) Die Berechnung einer linearen Nachfragefunktion für Kaffee

Die konkrete Durchrechnung eines einfachen Beispiels anhand einer Arbeitstabelle ist in den hier aufzurufenden PDF-Dateien demonstriert.
Aufgabe als pdf laden / Lösung als pdf laden

c) Die Berechnung der Regressionsfunktion zwischen Einkommen und Vermögen

Als Aufgabe analysieren Sie bitte die folgenden Datenreihen im Hinblick auf einen möglichen Zusammenhang. Rechnen Sie dazu entweder entsprechend der Arbeitstabelle 11-2 per Hand oder arbeiten Sie mit den in Modul XI-3 beschriebenen Analysetools. Verwenden Sie in beiden Fällen für das Haushaltseinkommen die entsprechenden Klassenmitten!

Tabelle 11-3: Ergebnisse der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe, BRD 1998

Haushaltseinkommen von...DM bis unter...DM

Durchschnittliches Nettogeldvermögen der privaten Haushalte in DM

0 – 1.000

28.940

1.000 – 2.000

14.290

2.000 – 3.000

26.343

3.000 – 4.000

41.639

4.000 – 5.000

52.626

5.000 – 6.000

72.023

6.000 – 7.000

85.080

7.000 – 8.000

105.458

8.000 – 9.000

116.074

9.000 – 10.000

130.839

10.000 – 12.000

155.257

12.000 – 15.000

211.244

15.000 – 25.000

304.589

25.000 – 35.000

393.630

Quelle: Statistisches Bundesamt: Einkommens- und Geldvermögensverteilung
privater Haushalte in Deutschland, in: Wirtschaft und Statistik, Heft 2 2001, S. 1.

  1. Formulieren Sie eine Hypothese über den Zusammenhang von monatlichem Haushaltsnettoeinkommen und Nettogeldvermögen der privaten Haushalte.
  2. Berechnen Sie die Regressionsgerade und erstellen Sie eine graphische Darstellung per Hand oder nach den in Modul XI-3 beschriebenen Analyseprogrammen mit Hilfe von Webstat, Excel oder SPSS.
  3. Bestätigt die Grafik Ihre Hypothese?

d) Die Berechnung der Regressionsfunktion zwischen Wirtschaftswachstum und Arbeitslosigkeit

Unter Bezug auf die Wirtschaftsentwicklung der Nachkriegszeit wird zum Zusammenhang zwischen Wirtschaftswachstum und Arbeitslosigkeit gelegentlich behauptet: " Wenn die Wirtschaft erst einmal wächst, dann nimmt auch die Arbeitslosigkeit ab ". In Tabelle 11-4 und 11-5 sind dazu einige historische wirtschaftsstatistische Daten verzeichnet. Sind Ihrer Meinung nach diese Daten geeignet, die o.g. Behauptung zu überprüfen?

Analysieren Sie bitte die folgenden Datenreihen im Hinblick auf einen möglichen Zusammenhang. Rechnen Sie dazu entweder entsprechend der Arbeitstabelle 11-2 per Hand oder arbeiten Sie mit den in Modul XI-3 beschriebenen Analysetools.

  • Tabelle 11-4: Bruttosozialprodukt und Arbeitslose 1952 -57

    Jahr

    BSP in Mrd. DM (in Preisen von 1980)

    Arbeitslose in Tsd.

    1952

    314,15

    1380

    1953

    337,82

    1260

    1954

    362,88

    1220

    1955

    404,64

    930

    1956

    432,48

    760

    1957

    455,92

    660

    Quelle: StBA: Wirtschaft und Statistik, 1960, S.11 und 30, eigene Berechnungen

    In den 80er Jahren erbrachte der Strukturwandel folgendes Bild:

  • Tabelle 11-5: Bruttosozialprodukt und Arbeitslose 1982 -87

    Jahr

    BSP in Mrd. DM (in Preisen von 1980)

    Arbeitslose in Tsd.

    1982

    1471

    1833

    1983

    1498,9

    2258

    1984

    1548,1

    2266

    1985

    1579

    2304

    1986

    1617,7

    2228

    1987

    1645,3

    2228

    Quelle: StBa: Wirtschaft und Statistik, 1987/1, S.6f

  • Bearbeiten Sie bitte folgende Aufgaben:

    1. Formulieren Sie auf der Grundlage der in Tabelle 11-4 aufgeführten Daten eine Hypothese in Form einer Gleichung!

    2. Stellen Sie den Zusammenhang graphisch dar!

    3. Berechnen Sie die Regressionsfunktion und zeichnen Sie ihren Graphen. Versuchen Sie zu beurteilen, ob die unter 1) formulierte Hypothese "gut" ist.

    4. Fertigen Sie aus den Daten aus Tabelle 11-5 ebenfalls eine Graphik an und berechnen Sie dazu die Regressionsfunktion!

    5. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus 3) und 4) und versuchen Sie eine Interpretation der Unterschiede. Wäre es eventuell sinnvoll, eine Regressionsfunktion für den gesamten Zeitraum 1952 bis 1987 zu berechnen?

    6. Wie stellt sich der Zusammenhang zwischen Wirtschaftsentwicklung und Arbeitslosigkeit aktuell dar? Ermitteln Sie die entsprechenden Daten für die letzten sechs Jahre aus den Veröffentlichungen des Stat. Bundesamtes und vergleichen Sie die Ergebnisse für die drei Perioden.


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