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1. Das Konzept des Medians

Der Median (Med) teilt eine geordnete Reihe von Beobachtungen in zwei gleich große Teile. 50% der Beobachtungen liegen unter dem Median, die restlichen 50% über dem Median. Er stellt also im wahrsten Sinne des Wortes einen "Durchschnitt" dar.
Damit eine Beobachtungsreihe geordnet werden kann, muss das Merkmal mindestens ordinal-skaliert sein.

2. Der Median bei nicht-klassierten Daten

Liegen ordinale oder metrische Messwerte vor, so müssen diese zunächst der Größe nach sortiert werden. Danach lässt sich der Median sehr leicht bestimmen.

a) Die Ermittlung des Medians aus einer geordneten Reihe von Beobachtungen

• In der Reihe: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 entspricht der Median dem Messwert 5. Bei insgesamt n=11 Werten liegen genau fünf Werte über und fünf unter 5. Bei einem ungeraden n ist der Median deshalb ein tatsächlicher Wert. Bei einem geraden n ist der Median das arithmetische Mittel zweier benachbarter Messwerte. Die Messwertreihe 3, 4, 4, 5, 6,7, 8, 8, 9, 9 führt zu einem Median von (6 + 7) / 2 = 6,5.
  

• Eine formelmäßige Darstellung des Medians einer geordneten Reihe findet sich auf der linken Hälfte der Abb 3-6.

b) Die Ermittlung des Medians aus der Häufigkeitsverteilung

Bei umfangreicheren Tabellen, wie auf der rechten Seite der nachfolgenden Abb. 3-6, greift man am besten auf die kumulierten Häufigkeiten zurück und bestimmt die Merkmalsausprägung als Median, bei der die 50%-Marke erreicht oder gerade überschritten wird.

Abbildung 3-6: Ermittlung des Medians aus der Häufigkeitsverteilung

3. Die Ermittlung des feinberechneten Medians bei klassierten Daten

a) Der konzeptionelle Ansatz

• Etwas aufwändiger ist die näherungsweise Ermittlung des feinberechneten Medians für klassiertes Datenmaterial. Deshalb und weil der Wert aus nicht-klassierten Daten genau ist, sollte dieser, wenn möglich, vorgezogen werden.

• Zur rechnerischen Ermittlung aus der Tabelle ist zuerst die mediane Klasse zu bestimmen. Dies ist jene Klasse, in welcher die kumulierten Häufigkeiten den Wert erreicht bzw. überschreitet. Dafür ist es hilfreich, sich in einer Arbeitstabelle die kumulierten Häufigkeiten zu berechnen.

• In der folgenden Grafik aus Kap. II-3 sind sowohl die auf- und abwärts kumulierten Häufigkeiten der Wartezeiten in einer Arztpraxis in den auf- wie absteigenden Treppenfunktionen und den entsprechenden Summenpolygonen dargestellt. Der dem Schnittpunkt der Polygone zuzuordnende Merkmalswert ist der Median.

  Abbildung 2-11: Auf- und abkumulierte Treppenfunktionen und Summenpolygonen

  

b) Die Formel für die Feinberechnung

Die nachstehende Formel für den feinberechneten Median ergibt sich demzufolge wieder aus einem Strahlensatz, der sich aus der graphischen Darstellung der Summenpolygone formulieren lässt (vgl. dazu die Erläuterungen in den weiteren Materialien).

• Die Formel für den Median lautet nun:

  

• Die einzelnen Ausdrücke in der Formel ergeben sich als:

  	Klassenunterrand der medianen Klasse
  	Klassenbreite der medianen Klasse
  	Summe der Häufigkeiten unterhalb der medianen Klasse
  	Häufigkeit in der medianen Klasse

letzte Änderung am 28.2.2020 um 7:49 Uhr.

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